Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AP\). Các

Câu hỏi số 554943:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AP\). Các đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).

1) Chứng minh rằng tứ giác \(BCEF\) nội tiếp và \(AE.AC = AF.AB.\)

2) Gọi \(K,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(EF\) và \(AH\). Chứng minh \(IK\) song song với \(AP.\)

3) Gọi \(M\) là giao điểm của \(IK\) và \(BC\);\(N\) là giao điểm của \(MH\) với cung nhỏ \(AC\)của đường tròn (O). Chứng minh rằng \(\angle HMC = \angle HAN\).

Xem lời giải

Câu hỏi:554943

Phương pháp giải

1) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giá nội tiếp

+ \(\Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right) \Rightarrow AE.AC = AF.AB\)

2) \(\left. \begin{array}{l}IK \bot EF\\AP \bot EF\end{array} \right\} \Rightarrow IK//AP\)

3) + Gọi D là giao điểm của AH và BC

+ P, M, H, N thẳng hàng.

+ Tứ giác \(ANDM\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle NMD = \angle NAD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\angle HMC = \angle HAN\)

Giải chi tiết

1) + Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)

Tứ giác \(BCEF\) có: \(\angle BEC + \angle BFC = {180^0}\) mà \(\angle BEC,\angle BFC\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+ Ta có: \(\angle AEF = \angle ABC\) (Cùng bù với \(\angle FEC\))

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle AEF = \angle ABC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}\\ \Rightarrow AE.AC = AF.AB\end{array}\)
2) Ta có E và F cùng nhìn đoạn AH một góc \({90^0}\) nên tứ giác \(AFHE\) nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AH . Lại có K là trung điểm của dây cung EF suy ra \(IK \bot EF\). (1)

Kẻ tiếp tuyến At (hình vẽ) của đường tròn tâm O ta suy ra \(AP \bot At\). (2)

Khi đó \(\angle CAt = \angle ABC = \dfrac{1}{2}sdcungAC\) (3)

Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp nên suy ra \(\angle AEF = \angle ABC\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle AEF = \angle CAt\), suy ra \(At\) và \(EF\) song song. (5)

Từ (2) và (5) suy ra \(AP \bot EF\), kết hợp với (1) suy ra \(IK\) song song với \(AP\).

3) Gọi D là giao điểm của AH và BC

Ta có tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính BC, \(IK\)là đường trung trực của dây cung \(EF\) nên M là trung điểm của BC.

Có BP // CH vì cùng vuông góc với AB; CP // BH vì cùng vuông góc với AC

Suy ra tứ giác BPCH là hình bình hành nên 3 điểm P, M, H thẳng hàng, do đó 4 điểm P, M, H, N thẳng hàng.

\( \Rightarrow \angle ANM = {90^0}\) mà \(\angle ADM = {90^0}\) suy ra tứ giác \(ANDM\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle NMD = \angle NAD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\angle HMC = \angle HAN\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.