Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác nhọn ABC(AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AP. Các
Cho tam giác nhọn ABC(AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AP. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp và AE.AC=AF.AB.
2) Gọi K,I lần lượt là trung điểm của EF và AH. Chứng minh IK song song với AP.
3) Gọi M là giao điểm của IK và BC;N là giao điểm của MH với cung nhỏ ACcủa đường tròn (O). Chứng minh rằng ∠HMC=∠HAN.
Quảng cáo
1) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giá nội tiếp
+ ΔAEF∼ΔABC(g.g)⇒AE.AC=AF.AB
2) IK⊥EFAP⊥EF}⇒IK//AP
3) + Gọi D là giao điểm của AH và BC
+ P, M, H, N thẳng hàng.
+ Tứ giác ANDM nội tiếp.
⇒∠NMD=∠NAD (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay ∠HMC=∠HAN
1) + Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên ∠BEC=∠BFC=900
Tứ giác BCEF có: ∠BEC+∠BFC=1800 mà ∠BEC,∠BFC là hai góc đối nhau
⇒BCEF là tứ giác nội tiếp (dhnb)
+ Ta có: ∠AEF=∠ABC (Cùng bù với ∠FEC)
Xét ΔAEF và ΔABC có:
∠Achung∠AEF=∠ABC(cmt)}⇒ΔAEF∼ΔABC(g.g)
⇒AEAB=AFAC⇒AE.AC=AF.AB
2) Ta có E và F cùng nhìn đoạn AH một góc 900 nên tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AH . Lại có K là trung điểm của dây cung EF suy ra IK⊥EF. (1)
Kẻ tiếp tuyến At (hình vẽ) của đường tròn tâm O ta suy ra AP⊥At. (2)
Khi đó ∠CAt=∠ABC=12sdcungAC (3)
Tứ giác BCEF nội tiếp nên suy ra ∠AEF=∠ABC (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠AEF=∠CAt, suy ra At và EF song song. (5)
Từ (2) và (5) suy ra AP⊥EF, kết hợp với (1) suy ra IK song song với AP.
3) Gọi D là giao điểm của AH và BC
Ta có tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC, IKlà đường trung trực của dây cung EF nên M là trung điểm của BC.
Có BP // CH vì cùng vuông góc với AB; CP // BH vì cùng vuông góc với AC
Suy ra tứ giác BPCH là hình bình hành nên 3 điểm P, M, H thẳng hàng, do đó 4 điểm P, M, H, N thẳng hàng.
⇒∠ANM=900 mà ∠ADM=900 suy ra tứ giác ANDM nội tiếp.
⇒∠NMD=∠NAD (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay ∠HMC=∠HAN
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
