Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AP\). Các
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB > AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AP\). Các đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).
1) Chứng minh rằng tứ giác \(BCEF\) nội tiếp và \(AE.AC = AF.AB.\)
2) Gọi \(K,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(EF\) và \(AH\). Chứng minh \(IK\) song song với \(AP.\)
3) Gọi \(M\) là giao điểm của \(IK\) và \(BC\);\(N\) là giao điểm của \(MH\) với cung nhỏ \(AC\)của đường tròn (O). Chứng minh rằng \(\angle HMC = \angle HAN\).
Quảng cáo
1) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giá nội tiếp
+ \(\Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right) \Rightarrow AE.AC = AF.AB\)
2) \(\left. \begin{array}{l}IK \bot EF\\AP \bot EF\end{array} \right\} \Rightarrow IK//AP\)
3) + Gọi D là giao điểm của AH và BC
+ P, M, H, N thẳng hàng.
+ Tứ giác \(ANDM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle NMD = \angle NAD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\angle HMC = \angle HAN\)
1) + Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)
Tứ giác \(BCEF\) có: \(\angle BEC + \angle BFC = {180^0}\) mà \(\angle BEC,\angle BFC\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
+ Ta có: \(\angle AEF = \angle ABC\) (Cùng bù với \(\angle FEC\))
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle AEF = \angle ABC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}\\ \Rightarrow AE.AC = AF.AB\end{array}\)
2) Ta có E và F cùng nhìn đoạn AH một góc \({90^0}\) nên tứ giác \(AFHE\) nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AH . Lại có K là trung điểm của dây cung EF suy ra \(IK \bot EF\). (1)
Kẻ tiếp tuyến At (hình vẽ) của đường tròn tâm O ta suy ra \(AP \bot At\). (2)
Khi đó \(\angle CAt = \angle ABC = \dfrac{1}{2}sdcungAC\) (3)
Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp nên suy ra \(\angle AEF = \angle ABC\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle AEF = \angle CAt\), suy ra \(At\) và \(EF\) song song. (5)
Từ (2) và (5) suy ra \(AP \bot EF\), kết hợp với (1) suy ra \(IK\) song song với \(AP\).
3) Gọi D là giao điểm của AH và BC
Ta có tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính BC, \(IK\)là đường trung trực của dây cung \(EF\) nên M là trung điểm của BC.
Có BP // CH vì cùng vuông góc với AB; CP // BH vì cùng vuông góc với AC
Suy ra tứ giác BPCH là hình bình hành nên 3 điểm P, M, H thẳng hàng, do đó 4 điểm P, M, H, N thẳng hàng.
\( \Rightarrow \angle ANM = {90^0}\) mà \(\angle ADM = {90^0}\) suy ra tứ giác \(ANDM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle NMD = \angle NAD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\angle HMC = \angle HAN\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
