Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\\x + y = m\end{array} \right.\)
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\\x + y = m\end{array} \right.\)
Trả lời cho các câu 555199, 555200 dưới đây:
Giải hệ khi \(m = 7\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\) tìm được \(x,y\)
Thay vào phương trình \(x + y = 7\), tìm được các nghiệm còn lại của hệ phương trình.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\).
Với \(m = 7\) hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\\x + y = 7\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} } \right)^2} = 4\\x + y = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 + y - 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 4\\x + y = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 7\\x + y = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 0\\x + y = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\x + y = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 6\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = 7\) hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;5} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\).
Tìm \(m\) sao cho hệ có nghiệm
Đáp án đúng là: D
Thay \(x + y = m\) vào phương trình \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\), ta có được phương trình (*)
Hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm.
Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 2\\x + y = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 + y - 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 4\\x + y = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 7\\x + y = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right)} = 7 - m\,\,\left( 1 \right)\\x + y = m\end{array} \right.\end{array}\)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (1) phải có nghiệm.
Điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm là \(7 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 7\). Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Rightarrow 4\left( {x - 2} \right)\left( {y - 1} \right) = {\left( {7 - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 2} \right)\left( {m - x - 1} \right) = {\left( {7 - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4mx - 4{x^2} - 4x - 8m + 8x + 8 = {\left( {7 - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 6m + 41 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\Delta ' = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 6m + 41} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} + 24m - 164 \ge 0\\ \Leftrightarrow 32m - 160 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge 5\end{array}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi \(5 \le m \le 7\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
