Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} +

Câu hỏi số 555043:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555043

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương và BĐT Cô – si

Giải chi tiết

Với \(x,y,z\) là các số dương và \(xyz = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\end{array}\)

Ta có \({x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\) và \({x^2} - xy + {y^2} \ge xy\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} \ge \left( {x + y} \right).xy \Rightarrow {x^3} + {y^3} \ge \dfrac{{x + y}}{z}\)

Tương tự ta có \({y^3} + {z^3} \ge \dfrac{{y + z}}{x}\) và \({z^3} + {x^3} \ge \dfrac{{z + x}}{y}\)

Từ các BĐT trên ta có: \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge x\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + y\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) + z\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)

Mặt khác áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}} = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\) mà \(\sqrt {xy} \le \dfrac{{x + y}}{2}\) suy ra \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Rightarrow z\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{4z}}{{x + y}}\)

Tương tự ta cũng có: \(y\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) \ge \dfrac{{4y}}{{z + x}}\) .

\(x\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge \dfrac{{4x}}{{y + z}}\) .

Suy ra \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge \dfrac{{4x}}{{y + z}} + \dfrac{{4y}}{{z + x}} + \dfrac{{4z}}{{x + y}} \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\)

Ta được điều cần chứng minh

Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi: \(x = y = z = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link