Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} +

Câu hỏi số 555043:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi:555043

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương và BĐT Cô – si

Giải chi tiết

Với \(x,y,z\) là các số dương và \(xyz = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\end{array}\)

Ta có \({x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\) và \({x^2} - xy + {y^2} \ge xy\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} \ge \left( {x + y} \right).xy \Rightarrow {x^3} + {y^3} \ge \dfrac{{x + y}}{z}\)

Tương tự ta có \({y^3} + {z^3} \ge \dfrac{{y + z}}{x}\) và \({z^3} + {x^3} \ge \dfrac{{z + x}}{y}\)

Từ các BĐT trên ta có: \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge x\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + y\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) + z\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)

Mặt khác áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}} = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\) mà \(\sqrt {xy} \le \dfrac{{x + y}}{2}\) suy ra \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Rightarrow z\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{4z}}{{x + y}}\)

Tương tự ta cũng có: \(y\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) \ge \dfrac{{4y}}{{z + x}}\) .

\(x\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge \dfrac{{4x}}{{y + z}}\) .

Suy ra \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge \dfrac{{4x}}{{y + z}} + \dfrac{{4y}}{{z + x}} + \dfrac{{4z}}{{x + y}} \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\)

Ta được điều cần chứng minh

Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi: \(x = y = z = 1\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.