Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0\)

Câu hỏi số 555202:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0\) và các biểu thức \(M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\), \(N = \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}\) và \(K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\).

a) Chứng minh rằng nếu \(MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\) thì \(N = 0\).

b) Cho \(M = K = 4\) và \(N = 1\). Tính \(abc\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555202

Phương pháp giải

a) Thực hiện phép nhân các phân thức đại số, biện luận để chứng minh bài toán

b) Từ ý a, ta có kết quả của phép tính \(MK\)

Thay \(M = K = 4\) và \(N = 1\) để tính.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MK = \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{a}{{b + c}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{b}{{c + a}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{c}{{a + b}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{b}{{c + a}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{c}{{a + b}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left[ {a\left( {b + c} \right) + bc} \right] + \dfrac{b}{{c + a}}\left[ {b\left( {c + a} \right) + ca} \right] + \dfrac{c}{{a + b}}.\left[ {c\left( {a + b} \right) + ab} \right]}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc.N}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\end{array}\)

Do đó nếu \(MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow N = 0\) (đpcm).

b) Theo ý a ta có \(MK = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\)

Thay \(M = K = 4\) và \(N = 1\) ta có: \(16 = 2 + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 14\).

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 14abc\).

Ta có: \(M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 4\)

\( \Rightarrow ab + bc + ca = 4abc\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 14abc = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2.4abc\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 6abc\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\\ \Rightarrow K + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right).N\\ \Rightarrow 4 + 3 = \left( {a + b + c} \right).1\\ \Leftrightarrow a + b + c = 7\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có \({7^2} = 6abc \Leftrightarrow abc = \dfrac{{49}}{6}\).

Vậy \(abc = \dfrac{{49}}{6}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link