Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0\)

Câu hỏi số 555202:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0\) và các biểu thức \(M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\), \(N = \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}\) và \(K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\).

a) Chứng minh rằng nếu \(MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\) thì \(N = 0\).

b) Cho \(M = K = 4\) và \(N = 1\). Tính \(abc\).

Xem lời giải

Câu hỏi:555202

Phương pháp giải

a) Thực hiện phép nhân các phân thức đại số, biện luận để chứng minh bài toán

b) Từ ý a, ta có kết quả của phép tính \(MK\)

Thay \(M = K = 4\) và \(N = 1\) để tính.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MK = \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{a}{{b + c}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{b}{{c + a}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{c}{{a + b}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{b}{{c + a}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{c}{{a + b}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left[ {a\left( {b + c} \right) + bc} \right] + \dfrac{b}{{c + a}}\left[ {b\left( {c + a} \right) + ca} \right] + \dfrac{c}{{a + b}}.\left[ {c\left( {a + b} \right) + ab} \right]}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc.N}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\end{array}\)

Do đó nếu \(MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow N = 0\) (đpcm).

b) Theo ý a ta có \(MK = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\)

Thay \(M = K = 4\) và \(N = 1\) ta có: \(16 = 2 + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 14\).

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 14abc\).

Ta có: \(M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 4\)

\( \Rightarrow ab + bc + ca = 4abc\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 14abc = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2.4abc\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 6abc\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\\ \Rightarrow K + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right).N\\ \Rightarrow 4 + 3 = \left( {a + b + c} \right).1\\ \Leftrightarrow a + b + c = 7\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có \({7^2} = 6abc \Leftrightarrow abc = \dfrac{{49}}{6}\).

Vậy \(abc = \dfrac{{49}}{6}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.