Cho các số thực $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0$

Câu hỏi số 555202:

Vận dụng

Cho các số thực $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0$ và các biểu thức $M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ , $N = \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}$ và $K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}$ .

a) Chứng minh rằng nếu $MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}$ thì $N = 0$ .

b) Cho $M = K = 4$ và $N = 1$ . Tính $abc$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555202

Phương pháp giải

a) Thực hiện phép nhân các phân thức đại số, biện luận để chứng minh bài toán

b) Từ ý a, ta có kết quả của phép tính $MK$

Thay $M = K = 4$ và $N = 1$ để tính.

Giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}MK = \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{a}{{b + c}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{b}{{c + a}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \dfrac{c}{{a + b}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{b}{{c + a}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{\dfrac{c}{{a + b}}.\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{\dfrac{a}{{b + c}}.\left[ {a\left( {b + c} \right) + bc} \right] + \dfrac{b}{{c + a}}\left[ {b\left( {c + a} \right) + ca} \right] + \dfrac{c}{{a + b}}.\left[ {c\left( {a + b} \right) + ab} \right]}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc.N}}{{abc}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}\end{array}$

Do đó nếu $MK = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow N = 0$ (đpcm).

b) Theo ý a ta có $MK = 2N + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}$

Thay $M = K = 4$ và $N = 1$ ta có: $16 = 2 + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = 14$ .

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 14abc$ .

Ta có: $M = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 4$

$\Rightarrow ab + bc + ca = 4abc$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow 14abc = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2.4abc\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 6abc\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,K = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\\ \Rightarrow K + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\\ \Rightarrow K + 3 = \left( {a + b + c} \right).N\\ \Rightarrow 4 + 3 = \left( {a + b + c} \right).1\\ \Leftrightarrow a + b + c = 7\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có ${7^2} = 6abc \Leftrightarrow abc = \dfrac{{49}}{6}$ .

Vậy $abc = \dfrac{{49}}{6}$ .

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho các số thực $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho các số thực a,b,ca,b,ca,\,\,b,\,\,c thỏa mãn a,b,c,a+b,b+c,c+a,a+b+c≠0a,b,c,a+b,b+c,c+a,a+b+c≠0a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho các số thực $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $a,\,\,b,\,\,c,\,\,a + b,\,\,b + c,\,\,c + a,\,\,a + b + c \ne 0$