Tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \({\left( {2n + 1} \right)^3} + 1\, \vdots \,{2^{2021}}.\)

Câu hỏi số 555204:

Vận dụng

Xem lời giải

Câu hỏi:555204

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\)

Giải chi tiết

Áp dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {2n + 1} \right)^3} + 1\\ = \left( {2n + 2} \right)\left[ {{{\left( {2n + 2} \right)}^2} - 3\left( {2n + 1} \right)} \right]\\ = \left( {2n + 2} \right)\left( {4{n^2} + 8n + 4 - 6n - 3} \right)\\ = 2\left( {n + 1} \right)\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)\end{array}\)

Vì \(4{n^2} + 2n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n\), mà \({2^{2021}}\,\, \vdots \,\,2\) nên để \({\left( {2n + 1} \right)^3} + 1\, \vdots \,{2^{2021}}\) thì \(2\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\,{2^{2021}} \Rightarrow n + 1\,\, \vdots \,\,\,{2^{2020}}\).

Khi đó tồn tại số \(k \in {\mathbb{N}^*}\) sao cho \(n + 1 = {2^{2020}}.k \Leftrightarrow n = {2^{2020}}.k - 1\) .

Vậy \(n = {2^{2020}}.k - 1\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) .

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.