Cho \(n,\,\,p\, \in \mathbb{N},\,\,\,p\) là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{{2n + 2}}{p}\) và \(\dfrac{{4{n^2}

Câu hỏi số 555205:

Vận dụng

Cho \(n,\,\,p\, \in \mathbb{N},\,\,\,p\) là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{{2n + 2}}{p}\) và \(\dfrac{{4{n^2} + 2n + 1}}{p}\, \in \,\mathbb{Z}\). Chứng minh rằng 2 số nguyên trên không đồng thời là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555205

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giải chi tiết

Giả sử 2 số nguyên trên đồng thời là số chính phương.

Ta có \(4{n^2} + 2n + 1 = {\left( {2n + 2} \right)^2} - 6n - 3 = {\left( {2n + 2} \right)^2} - 3\left( {2n + 1} \right)\) (1)

Vì \(4{n^2} + 2n + 1\) và \(2n + 2\) đêỳ chia hết cho \(p\) nên \(3\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,p\).

Lại có \(\left( {2n + 1;2n + 2} \right) = 1\) nên \(2n + 1\) không chia hết cho \(p\).

\( \Rightarrow 3\,\, \vdots \,\,p \Rightarrow p = 3\).

Rõ ràng số mũ của 3 trong khai triển \(4{n^2} + 2n + 1\) phải là số chẵn (nếu không thì sẽ không phải là số chính phương).

Mặt khác VP của (1) chỉ chia hết cho 3 \( \Rightarrow \) Số mũ của 3 trong khai triển của VP (1) là số lẻ \( \Rightarrow \) mâu thuẫn.

Vậy ta có giả sử sai hay 2 số nguyên đã cho không đồng thời là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link