Cho \(n,\,\,p\, \in \mathbb{N},\,\,\,p\) là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{{2n + 2}}{p}\) và \(\dfrac{{4{n^2}

Câu hỏi số 555205:

Vận dụng

Cho \(n,\,\,p\, \in \mathbb{N},\,\,\,p\) là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{{2n + 2}}{p}\) và \(\dfrac{{4{n^2} + 2n + 1}}{p}\, \in \,\mathbb{Z}\). Chứng minh rằng 2 số nguyên trên không đồng thời là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi:555205

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giải chi tiết

Giả sử 2 số nguyên trên đồng thời là số chính phương.

Ta có \(4{n^2} + 2n + 1 = {\left( {2n + 2} \right)^2} - 6n - 3 = {\left( {2n + 2} \right)^2} - 3\left( {2n + 1} \right)\) (1)

Vì \(4{n^2} + 2n + 1\) và \(2n + 2\) đêỳ chia hết cho \(p\) nên \(3\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,p\).

Lại có \(\left( {2n + 1;2n + 2} \right) = 1\) nên \(2n + 1\) không chia hết cho \(p\).

\( \Rightarrow 3\,\, \vdots \,\,p \Rightarrow p = 3\).

Rõ ràng số mũ của 3 trong khai triển \(4{n^2} + 2n + 1\) phải là số chẵn (nếu không thì sẽ không phải là số chính phương).

Mặt khác VP của (1) chỉ chia hết cho 3 \( \Rightarrow \) Số mũ của 3 trong khai triển của VP (1) là số lẻ \( \Rightarrow \) mâu thuẫn.

Vậy ta có giả sử sai hay 2 số nguyên đã cho không đồng thời là số chính phương.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.