Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le

Câu hỏi số 555203:

Vận dụng

Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_n}\) và \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\).

a) Chứng minh nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) Chứng minh nếu \({x_n} \le \dfrac{2}{3}\) thì tìm được số nguyên dương \(k < n\) sao cho \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_\,} + ... + {x_k} \le \dfrac{2}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555203

Phương pháp giải

a) Từ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\) \( \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\), chỉ ra điều mẫu thuẫn với giả thiết, từ đó kết luận.

b) Chứng minh phản chứng.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} = 1\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge {x_1}\\{x_4} \ge {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_3} + {x_4} \ge {x_1} + {x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\end{array}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n} > 2.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\) (mâu thuẫn).

Vậy \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) + Nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì xét \(k = n - 1\) ta có \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_2} + ... + {x_{n - 1}} \le \dfrac{2}{3}\).

+ Nếu \({x_n} < \dfrac{1}{3}\) thì cả \(n\) số \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,{x_n}\) đều bé hơn \(\dfrac{1}{3}\) nên xét \({S_k} = {x_1} + {x_2} + ... + {x_k}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = {x_1} < \dfrac{1}{3}\\{S_n} = 1 > \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Giả sử không tồn tại \(k\) sao cho \(\dfrac{1}{3} < {S_k} < \dfrac{2}{3}\).

Nếu không tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\) thì do \({S_1} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_2} < \dfrac{1}{3},\,\,{S_3} < \dfrac{1}{3},\,\,...,\,\,{S_n} < \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \) Trái với giả thiết.

Do đó tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\), mà \({x_{k + 1}} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_{k| + 1}} < \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay tồn tại số \(k\) thỏa mãn yêu cầu.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link