Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le

Câu hỏi số 555203:

Vận dụng

Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_n}\) và \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\).

a) Chứng minh nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) Chứng minh nếu \({x_n} \le \dfrac{2}{3}\) thì tìm được số nguyên dương \(k < n\) sao cho \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_\,} + ... + {x_k} \le \dfrac{2}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555203

Phương pháp giải

a) Từ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\) \( \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\), chỉ ra điều mẫu thuẫn với giả thiết, từ đó kết luận.

b) Chứng minh phản chứng.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} = 1\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge {x_1}\\{x_4} \ge {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_3} + {x_4} \ge {x_1} + {x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\end{array}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n} > 2.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\) (mâu thuẫn).

Vậy \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) + Nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì xét \(k = n - 1\) ta có \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_2} + ... + {x_{n - 1}} \le \dfrac{2}{3}\).

+ Nếu \({x_n} < \dfrac{1}{3}\) thì cả \(n\) số \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,{x_n}\) đều bé hơn \(\dfrac{1}{3}\) nên xét \({S_k} = {x_1} + {x_2} + ... + {x_k}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = {x_1} < \dfrac{1}{3}\\{S_n} = 1 > \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Giả sử không tồn tại \(k\) sao cho \(\dfrac{1}{3} < {S_k} < \dfrac{2}{3}\).

Nếu không tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\) thì do \({S_1} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_2} < \dfrac{1}{3},\,\,{S_3} < \dfrac{1}{3},\,\,...,\,\,{S_n} < \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \) Trái với giả thiết.

Do đó tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\), mà \({x_{k + 1}} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_{k| + 1}} < \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay tồn tại số \(k\) thỏa mãn yêu cầu.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link