Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le

Câu hỏi số 555203:

Vận dụng

Cho \(n\) số thực \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,\,{x_n}\,\,\left( {n \ge 5} \right)\) thỏa mãn \({x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_n}\) và \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\).

a) Chứng minh nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) Chứng minh nếu \({x_n} \le \dfrac{2}{3}\) thì tìm được số nguyên dương \(k < n\) sao cho \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_\,} + ... + {x_k} \le \dfrac{2}{3}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:555203

Phương pháp giải

a) Từ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\) \( \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\), chỉ ra điều mẫu thuẫn với giả thiết, từ đó kết luận.

b) Chứng minh phản chứng.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} = 1\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge {x_1}\\{x_4} \ge {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_3} + {x_4} \ge {x_1} + {x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_3} + {x_4}} \right) + ... + {x_n} \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\\ \Rightarrow 1 \ge 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n}\end{array}\)

Nếu \({x_1} + {x_2} > {x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + ... + {x_n} > 2.\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\) (mâu thuẫn).

Vậy \({x_1} + {x_2} \le {x_n}\).

b) + Nếu \({x_n} \ge \dfrac{1}{3}\) thì xét \(k = n - 1\) ta có \(\dfrac{1}{3} \le {x_1} + {x_2} + ... + {x_{n - 1}} \le \dfrac{2}{3}\).

+ Nếu \({x_n} < \dfrac{1}{3}\) thì cả \(n\) số \({x_1},\,\,{x_2},\,...,\,{x_n}\) đều bé hơn \(\dfrac{1}{3}\) nên xét \({S_k} = {x_1} + {x_2} + ... + {x_k}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = {x_1} < \dfrac{1}{3}\\{S_n} = 1 > \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Giả sử không tồn tại \(k\) sao cho \(\dfrac{1}{3} < {S_k} < \dfrac{2}{3}\).

Nếu không tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\) thì do \({S_1} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_2} < \dfrac{1}{3},\,\,{S_3} < \dfrac{1}{3},\,\,...,\,\,{S_n} < \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \) Trái với giả thiết.

Do đó tồn tại \(k\) sao cho \({S_k} < \dfrac{1}{3}\) và \({S_{k + 1}} > \dfrac{2}{3}\), mà \({x_{k + 1}} < \dfrac{1}{3}\) nên \({S_{k| + 1}} < \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay tồn tại số \(k\) thỏa mãn yêu cầu.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.