Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , lấy các điểm $E,\,F$ trên $AB,\,AC$ sao cho $EF//BC$ . Dựng

Câu hỏi số 555206:

Vận dụng cao

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , lấy các điểm $E,\,F$ trên $AB,\,AC$ sao cho $EF//BC$ . Dựng đường tròn $\left( I \right)$ đường kính $EF$ cắt $BF$ , $CE$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $D$ là giao điểm của $BF$ và $CE$ , $H$ là hình chiếu của $D$ lên đường thẳng $EF$ .

a) Chứng minh rằng dường thẳng $AD$ đi qua $I$ và $\left( {HMN} \right)$ qua $I$ .

b) Gọi $K,\,L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $E,\,F$ lên $BC$ , $EM$ và $FN$ cắt $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Chứng minh các tứ giác $AEPL$ và $AFQK$ nội tiếp và tỉ số $\dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}}$ không đổi khi $E,\,F$ di động.

c) Chứng minh: Nếu $KF$ và $EL$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $\left( I \right)$ thì $EM,\,FN$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $BC.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555206

Phương pháp giải

a) + Ta sẽ chứng minh: $I,D,J$ thẳng hàng và $A,I,J$ thẳng hàng $\Rightarrow A,I,D,J$ thẳng hàng $\Rightarrow AD$ đi qua $I$

+ Ta sẽ chứng minh: $\angle IMN = \angle FDN;\angle FND = \angle FHN \Rightarrow \angle IMN = \angle FHN \Rightarrow MIHN$ nội tiếp $\Rightarrow \left( {HMN} \right)$ qua $I$

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $CF.CA = CQ.CK\,\,\,\left( 8 \right)$ nên $AFQK$ là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) + Ta sẽ chứng minh: $BE.BA = BM.BF\,$ và $BM.BF = BP.BL$ $\Rightarrow BE.BA = BP.BL$ $\Rightarrow AEPL$ là tứ giác nội tiếp

Chứng minh tương tự, ta cũng có $AFQK$ là tứ giác nội tiếp.

+ $\dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}} = {\left( {\dfrac{{BA}}{{CA}}} \right)^2}$ từ đó ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng dường thẳng $AD$ đi qua $I$ và $\left( {HMN} \right)$ qua $I$ .

* Chứng minh rằng dường thẳng $AD$ đi qua $I$

Gọi $J$ là trung điểm của $CD$ .

+) Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{2EI}}{{2CJ}} = \dfrac{{DE}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{EI}}{{CJ}} = \dfrac{{DE}}{{DC}}$ .

Xét tam giác $DEI$ và tam giác $DCJ$ có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{EI}}{{CJ}} = \dfrac{{DE}}{{DC}}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle IED = \angle JCD\,\,\left( {so\,\,le\,\,trong} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta DEI \sim \Delta DCJ\,\,\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \angle EDI = \angle CDJ$ (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đối đỉnh $\Rightarrow I,\,\,D,\,\,J$ thẳng hàng (1).

+) Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{2EI}}{{2BJ}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{EI}}{{BJ}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}$

Xét tam giác $AEI$ và tam giác $ABJ$ có:

$\dfrac{{EI}}{{BJ}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,\left( {cmt} \right)$

$\angle AEI = \angle ABJ$ (đồng vị)

$\Rightarrow \Delta AEI \sim \Delta ABJ\,\,\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow \angle EAI = \angle BAJ$ (2 góc tương ứng) $\Rightarrow A,\,\,I,\,\,J$ thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $A,\,\,I,\,\,D,\,\,J$ thẳng hàng.

Vậy đường thẳng $AD$ đi qua $I$ (đpcm).

* Chứng minh $\left( {HMN} \right)$ qua $I$ .

Ta có $\angle NMF = \angle NEF$ (2 góc nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$ cùng chắn cung $NF$ )

$\angle IMF = \angle IFM$ (do tam giác $IMF$ cân tại $I$ )

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NMF + \angle IMF = \angle NEF + \angle IFM = \angle NEF + \angle EFM\\ \Rightarrow \angle IMN = {180^0} - \angle EDF\\ \Rightarrow \angle IMN = \angle FDN\,\,\left( 3 \right)\end{array}$

Xét tứ giác $HDNF$ có $\angle DNF = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( I \right)$ ) $\Rightarrow \angle DHF + \angle DNF = {180^0}$ $\Rightarrow$ Tứ giác $HDNF$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) $\Rightarrow \angle FDN = \angle FHN$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $NF$ ) (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \angle IMN = \angle FHN$ $\Rightarrow MIHN$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Vậy $\left( {HMN} \right)$ qua $I$ (đpcm).

b) Gọi $K,\,L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $E,\,F$ lên $BC$ , $EM$ và $FN$ cắt $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Chứng minh các tứ giác $AEPL$ và $AFQK$ nội tiếp và tỉ số $\dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}}$ không đổi khi $E,\,F$ di động.

* Chứng minh các tứ giác $AEPL$ và $AFQK$ nội tiếp

+) Vì tứ giác $AEMF$ nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$ , $AE \cap MF = B$ nên ta có $BE.BA = BM.BF\,\,\,\left( 5 \right)$

Ta có $\angle EMF = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( I \right)$ nên $\angle PMF = {90^0}$ .

$\Rightarrow \angle PMF + \angle PLF = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\Rightarrow$ Tứ giác $MPLF$ là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+) Vì tứ giác $MPLF$ nội tiếp (cmt), $MF \cap PL = B$ nên ta có $BM.BF = BP.BL\,\,\,\left( 6 \right)$

Từ (5) và (6) $\Rightarrow BE.BA = BP.BL\,\,\,\left( 7 \right)$ $\Rightarrow$ Tứ giác $AEPL$ là tứ giác nội tiếp.

* Chứng minh tỉ số $\dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}}$ không đổi khi $E,\,F$ di động.

Từ (6) và (7) ta có: $\dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}} = \dfrac{{BE.BA}}{{CF.CA}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}.\dfrac{{BA}}{{CA}}$ .

Mà theo định lí Ta-lét ta lại có: $\dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{BA}}{{CA}}$ $\Rightarrow \dfrac{{BP.BL}}{{CQ.CK}} = {\left( {\dfrac{{BA}}{{CA}}} \right)^2}$ không đổi khi $E,\,F$ di động (đpcm).

c) Chứng minh: Nếu $KF$ và $EL$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $\left( I \right)$ thì $EM,\,FN$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $BC.$

Gọi $T = KF \cap KL$ .

Vì tứ giác $AFQK$ là tứ giác nội tiếp (cmt)

$\Rightarrow$ $\angle AQP = \angle AQK = \angle AFK$ (9) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AK$ ).

Vì tứ giác $AEPL$ là tứ giác nội tiếp (cmt)

$\Rightarrow \angle APQ = \angle APL = \angle AEL$ (10) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AL$ ).

Cộng vế theo vế của (9) và (10) ta có: $\angle AQP + \angle APQ = \angle AFK + \angle AEL = \angle AET + \angle AFT = {180^0}$ (vì $T$ nằm trên $\left( I \right)$ (gt)).

$\Rightarrow \angle APQ + \angle AQP = {180^0} \Rightarrow \angle APQ = {180^0} - \angle AQP = \angle AQC$ .

Vì $P,\,\,Q \in BC$ nên $P \equiv Q$ .

Vậy $EM$ và $FN$ cắt nhau tại điểm $P \in BC$ (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , lấy các điểm $E,\,F$ trên $AB,\,AC$ sao cho $EF//BC$ . Dựng

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, lấy các điểm E,FE,\,F trên AB,ACAB,\,AC sao cho EF//BCEF//BC. Dựng

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , lấy các điểm $E,\,F$ trên $AB,\,AC$ sao cho $EF//BC$ . Dựng