Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, lấy các điểm E,FE,F trên AB,ACAB,AC sao cho EF//BCEF//BC. Dựng
Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, lấy các điểm E,FE,F trên AB,ACAB,AC sao cho EF//BCEF//BC. Dựng đường tròn (I)(I) đường kính EFEF cắt BFBF , CECE lần lượt tại M,NM,N. Gọi DD là giao điểm của BFBF và CECE, HH là hình chiếu của DD lên đường thẳng EFEF.
a) Chứng minh rằng dường thẳng ADAD đi qua II và (HMN)(HMN) qua II.
b) Gọi K,LK,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E,FE,F lên BCBC, EMEM và FNFN cắt BCBC lần lượt tại PP và QQ. Chứng minh các tứ giác AEPLAEPLvà AFQKAFQK nội tiếp và tỉ số BP.BLCQ.CKBP.BLCQ.CK không đổi khi E,FE,F di động.
c) Chứng minh: Nếu KFKF và ELEL cắt nhau tại một điểm nằm trên (I)(I) thì EM,FNEM,FN cắt nhau tại một điểm nằm trên BC.BC.
Quảng cáo
a) + Ta sẽ chứng minh: I,D,JI,D,J thẳng hàng và A,I,JA,I,J thẳng hàng ⇒A,I,D,J⇒A,I,D,J thẳng hàng ⇒AD⇒AD đi qua II
+ Ta sẽ chứng minh: ∠IMN=∠FDN;∠FND=∠FHN⇒∠IMN=∠FHN⇒MIHN∠IMN=∠FDN;∠FND=∠FHN⇒∠IMN=∠FHN⇒MIHN nội tiếp ⇒(HMN)⇒(HMN) qua II
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có CF.CA=CQ.CK(8)CF.CA=CQ.CK(8) nên AFQKAFQK là tứ giác nội tiếp (đpcm).
b) + Ta sẽ chứng minh: BE.BA=BM.BFBE.BA=BM.BF và BM.BF=BP.BLBM.BF=BP.BL⇒BE.BA=BP.BL⇒BE.BA=BP.BL⇒AEPL⇒AEPL là tứ giác nội tiếp
Chứng minh tương tự, ta cũng có AFQKAFQK là tứ giác nội tiếp.
+ BP.BLCQ.CK=(BACA)2BP.BLCQ.CK=(BACA)2 từ đó ta có điều phải chứng minh.
a) Chứng minh rằng dường thẳng ADAD đi qua II và (HMN)(HMN) qua II.
* Chứng minh rằng dường thẳng ADAD đi qua II
Gọi JJ là trung điểm của CDCD.
+) Áp dụng định lí Ta-lét ta có EFBC=DEDC⇒2EI2CJ=DEDC⇒EICJ=DEDCEFBC=DEDC⇒2EI2CJ=DEDC⇒EICJ=DEDC .
Xét tam giác DEIDEI và tam giác DCJDCJ có:
EICJ=DEDC(cmt)∠IED=∠JCD(soletrong)
⇒ΔDEI∼ΔDCJ(c.g.c)
⇒∠EDI=∠CDJ (2 góc tương ứng).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đối đỉnh ⇒I,D,J thẳng hàng (1).
+) Áp dụng định lí Ta-lét ta có: EFBC=AEAB⇒2EI2BJ=AEAB⇒EIBJ=AEAB
Xét tam giác AEI và tam giác ABJ có:
EIBJ=AEAB(cmt)
∠AEI=∠ABJ (đồng vị)
⇒ΔAEI∼ΔABJ(c.g.c)
⇒∠EAI=∠BAJ (2 góc tương ứng) ⇒A,I,J thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A,I,D,J thẳng hàng.
Vậy đường thẳng AD đi qua I (đpcm).
* Chứng minh (HMN) qua I.
Ta có ∠NMF=∠NEF (2 góc nội tiếp đường tròn (I) cùng chắn cung NF)
∠IMF=∠IFM (do tam giác IMF cân tại I)
⇒∠NMF+∠IMF=∠NEF+∠IFM=∠NEF+∠EFM⇒∠IMN=1800−∠EDF⇒∠IMN=∠FDN(3)
Xét tứ giác HDNF có ∠DNF=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)) ⇒∠DHF+∠DNF=1800 ⇒ Tứ giác HDNF là tứ giác nội tiếp (dhnb) ⇒∠FDN=∠FHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NF) (4)
Từ (3) và (4) ⇒∠IMN=∠FHN ⇒MIHN là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Vậy (HMN) qua I (đpcm).
b) Gọi K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E,F lên BC, EM và FN cắt BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh các tứ giác AEPLvà AFQK nội tiếp và tỉ số BP.BLCQ.CK không đổi khi E,F di động.
* Chứng minh các tứ giác AEPLvà AFQK nội tiếp
+) Vì tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn (I), AE∩MF=B nên ta có BE.BA=BM.BF(5)
Ta có ∠EMF=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I) nên ∠PMF=900.
⇒∠PMF+∠PLF=900+900=1800 ⇒ Tứ giác MPLF là tứ giác nội tiếp (dhnb)
+) Vì tứ giác MPLF nội tiếp (cmt), MF∩PL=B nên ta có BM.BF=BP.BL(6)
Từ (5) và (6) ⇒BE.BA=BP.BL(7) ⇒ Tứ giác AEPL là tứ giác nội tiếp.
* Chứng minh tỉ số BP.BLCQ.CK không đổi khi E,F di động.
Từ (6) và (7) ta có: BP.BLCQ.CK=BE.BACF.CA=BECF.BACA.
Mà theo định lí Ta-lét ta lại có: BECF=BACA ⇒BP.BLCQ.CK=(BACA)2 không đổi khi E,F di động (đpcm).
c) Chứng minh: Nếu KF và EL cắt nhau tại một điểm nằm trên (I) thì EM,FN cắt nhau tại một điểm nằm trên BC.
Gọi T=KF∩KL.
Vì tứ giác AFQK là tứ giác nội tiếp (cmt)
⇒ ∠AQP=∠AQK=∠AFK (9) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK).
Vì tứ giác AEPL là tứ giác nội tiếp (cmt)
⇒∠APQ=∠APL=∠AEL (10) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AL).
Cộng vế theo vế của (9) và (10) ta có: ∠AQP+∠APQ=∠AFK+∠AEL=∠AET+∠AFT=1800 (vì T nằm trên (I) (gt)).
⇒∠APQ+∠AQP=1800⇒∠APQ=1800−∠AQP=∠AQC.
Vì P,Q∈BC nên P≡Q.
Vậy EM và FN cắt nhau tại điểm P∈BC (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
