Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 555625:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \dfrac{{2021}}{{\sqrt {ab} + \sqrt {cb} + \sqrt {ac} }} - \dfrac{{b\sqrt a }}{{1 - b}} - \dfrac{{c\sqrt b }}{{1 + c}} - \dfrac{{a\sqrt c }}{{1 + a}}\)

A. \({P_{\min }} = - \dfrac{{4033}}{6} \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

B. \({P_{\min }} = - \dfrac{{4003}}{6} \Leftrightarrow a = 2;b = c = \dfrac{1}{2}\)

C. \({P_{\min }} = - \dfrac{{6003}}{6} \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

D. \({P_{\min }} = - \dfrac{{3033}}{6} \Leftrightarrow a = 2;b = c = 1\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:555625

Phương pháp giải

Áp dụng lần lượt BĐT Cauchy – Schwarz và BĐT AM – GM

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có: \(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le a + b + c\).

\( \Rightarrow 0 \le \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le 3\).

Áp dụng BĐT AM – GM ta có: \(b + 1 \ge 2\sqrt b \Rightarrow \dfrac{{b\sqrt a }}{{b + 1}} \le \dfrac{{\sqrt {ab} }}{2}\).

Tương tự ta có: \(\dfrac{{c\sqrt b }}{{1 + c}} \le \dfrac{{\sqrt {bc} }}{2},\,\,\dfrac{{a\sqrt c }}{{1 + a}} \le \dfrac{{\sqrt {ca} }}{2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,P \ge \dfrac{{2021}}{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} }} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} }}{2}\\ \Rightarrow P \ge \left[ {\dfrac{{2021}}{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} }} + \dfrac{{\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right).2021}}{9}} \right] - \dfrac{{4051}}{{18}}\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right)\\ \Rightarrow P \ge 9\sqrt {2021.\dfrac{{2021}}{9}} - \dfrac{{4051}}{{18}}.3\\ \Rightarrow P \ge - \dfrac{{4033}}{6}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.