Giải phương trình \(4x + 1 - \sqrt {9\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} + 2\sqrt {2x - 1}

Câu hỏi số 555624:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(4x + 1 - \sqrt {9\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} + 2\sqrt {2x - 1} - 2\sqrt {x + 1} = 0\).

A. \(S = \left\{ {1;\dfrac{{14 + \sqrt {128} }}{4};\dfrac{{14 - \sqrt {128} }}{4}} \right\}\)

B. \(S = \left\{ {1;\dfrac{{ - 14 + \sqrt {128} }}{4};\dfrac{{ - 14 - \sqrt {128} }}{4}} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {2;\dfrac{{ - 14 + \sqrt {128} }}{4};\dfrac{{ - 14 - \sqrt {128} }}{4}} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {2;\dfrac{{14 + \sqrt {128} }}{4};\dfrac{{14 - \sqrt {128} }}{4}} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:555624

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ của phương trình: biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Đặt \(\sqrt {2x - 1} = a,\,\sqrt {x + 1} = b\,\,\left( {a \ge 0,\,\,b \ge 0} \right)\)

Thay vào phương trình ban đầu, tìm được \(a,b \Rightarrow x\) (đối chiều điều kiện và kết luận)

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(x \ge \dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt {2x - 1} = a,\,\sqrt {x + 1} = b\,\,\left( {a \ge 0,\,\,b \ge 0} \right)\)

Suy ra \(4x + 1 = 2x - 1 + 2\left( {x + 1} \right) = {a^2} + 2b\)

Phương trình ban đầu trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + 2{b^2} - 3ab + 2a - 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - ab} \right) + \left( {2a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + b\left( {b - a} \right) + 2\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} - b\left( {a - b} \right) + 2\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - b - b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 2b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a - 2b + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a = b \Rightarrow \sqrt {2x - 1} = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 1 \Leftrightarrow x = 2\) (TMĐK)

TH2: \(a - 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} - 2\sqrt {x + 1} + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} + 2 = 2\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow 2x - 1 + 4 + 4\sqrt {2x - 1} = 4\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = 4\sqrt {2x - 1} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} = 16\left( {2x - 1} \right)\,\,\left( {do\,\,x \ge \dfrac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 - 32x + 16 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 28x + 17 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {14^2} - 4.17 = 128 > 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt \Delta }}{a} = \dfrac{{14 + 8\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{7 + 4\sqrt 2 }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt \Delta }}{a} = \dfrac{{14 - 8\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{7 - 4\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) (TMĐK).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {2;\dfrac{{14 + \sqrt {128} }}{4};\dfrac{{14 - \sqrt {128} }}{4}} \right\}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.