Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 555654:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + 2\) (với \(m\) là tham số)

a) Chứng minh rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

b) Gọi hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là \({x_1},{x_2}\). Tìm \(m\) để \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {{x_2} - 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} - 2} \right) = 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555654

Phương pháp giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m \Leftrightarrow \Delta > 0,\forall m\)

Từ ý a, áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\)

Thay vào \({x_1}\left( {{x_2} - 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} - 2} \right) = 3\), giải và tìm \(m\).

Giải chi tiết

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = mx + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = {m^2} + 8 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\)

b) Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là \({x_1},{x_2}\) \( \Rightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}\left( {{x_2} - 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} - 2} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2{x_1} + {x_1}{x_2} - 2{x_2} = 3\\ \Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) - 2m = 3\\ \Leftrightarrow - 4 - 2m = 3\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{7}{2}\end{array}\)

Vậy \(m = - \dfrac{7}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link