Cho đường tròn \(O\) , bán kính \(R\), dây \(AB\) cố định không đi qua tâm. Đường kính \(CD\)

Câu hỏi số 555655:

Vận dụng

Cho đường tròn \(O\) , bán kính \(R\), dây \(AB\) cố định không đi qua tâm. Đường kính \(CD\) vuông góc với dây \(AB\) tại \(K\) \((D\) thuộc cung nhỏ \(AB)\). Trên đoạn \(BK\) lấy điểm \(F\), tia \(DF\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(M\).

1) Chứng minh rằng: Tứ giác \(CKFM\) nội tiếp được.

2) Tia \(CM\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\) Chứng minh rằng: \(DF.DM + CM.CE = 4{R^2}\)

3) Tia \(CF\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(N\), tia \(MK\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(G\). Chứng minh rằng: \(GN//AB.\)

\(\)

Xem lời giải

Câu hỏi:555655

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) \(\Delta DKF \sim \Delta DMC\left( {g.g} \right) \Rightarrow DF.DM = DC.DK\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta CMD \sim \Delta CKE\left( {g.g} \right) \Rightarrow CM.CE = CD.CK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Cộng (1) + (2), có đpcm

3) \(\angle MKB = \angle MGN\) mà hai góc này ở vị trí so le trong \(AB//GN\)

Giải chi tiết

1) Xét \(\left( O \right):CD\) là đường kính, \(AB\) là dây không đi qua tâm

\( \Rightarrow CD \bot AB\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)

Mà \(CD \cap AB = \left\{ K \right\}\)

\( \Rightarrow \angle CKB = {90^0}\)

Lại có: \(\angle CMD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(CD\))

Xét tứ giác \(CKFM\) có: \(\angle CKM + \angle CMF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle CKM,\angle CMF\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow CKFM\) là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2) \(DF.DM + CM.CE = 4{R^2}\)

Xét \(\Delta DKF\) và \(\Delta DMC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle D\,\,\,chung\\\angle DKF = \angle CMD = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DKF \sim \Delta DMC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{DF}}{{DC}} = \dfrac{{DK}}{{DM}}\\ \Rightarrow DF.DM = DC.DK\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta CMD\) và \(\Delta CKE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle C\,\,\,chung\\\angle CMD = \angle CKE = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CMD \sim \Delta CKE\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CK}} = \dfrac{{CD}}{{CE}}\\ \Rightarrow CM.CE = CD.CK\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng theo vế (1) và (2), ta có: \(DF.DM + CM.CE = CD.\left( {DK + CK} \right) = C{D^2}\)

Mà \(CD\) là đường kính đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow CD = 2R\)

Do đó, \(DF.CM + CM.CE = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\) (đpcm)

3) Tứ giác \(CKFM\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle MCF = \angle MKF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MF\)) hay \(\angle MCN = \angle MKB\)

Xét \(\left( O \right):\angle MCN = \angle MGN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MN\))

\( \Rightarrow \angle MKB = \angle MGN\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow BK//GN\) hay \(AB//GN\) (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.