Vào lúc 6 giờ sáng có hai xe khởi hành cùng lúc. Xe 1 xuất phát từ A với tốc độ không

Câu hỏi số 557240:

Vận dụng cao

Vào lúc 6 giờ sáng có hai xe khởi hành cùng lúc. Xe 1 xuất phát từ A với tốc độ không đổi \({v_1} = 7m/s\) và chạy liên tục nhiều vòng trên các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Xe 2 xuất phát từ D với tốc độ không đổi \({v_2} = 8m/s\) và chạy liên tục nhiều vòng trên các cạnh của hình tam giác DAB như hình vẽ bên. Biết AB = 600m, AD = 800m và khi gặp nhau các xe có thể vượt qua nhau.

a) Ở thời điểm nào thì xe 2 chạy được số vòng nhiều hơn xe 1 là 1 vòng.

b) Tính thời gian từ lúc khởi hành đến khi khoảng cách giữa hai xe ngắn nhất trong phút đầu tiên. Tính khoảng cách ngắn nhất đó.

c) Xác định thời điểm xe 1 đến C và xe 2 đến D cùng một lúc lần thứ ba.

Phương pháp giải

Tốc độ chuyển động: \(v = \dfrac{s}{t}\)

Giải chi tiết

Chu vi hình chữ nhật ABCD là:

\({P_1} = 2\left( {AB + AD} \right) = 2\left( {600 + 800} \right) = 2800\,\,\left( m \right)\)

Chu vi tam giác DAB là:

\(\begin{array}{l}{P_2} = AB + AD + BD = AB + AD + \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \\ \Rightarrow {P_2} = 600 + 800 + \sqrt {{{600}^2} + {{800}^2}} = 2400\,\,\left( m \right)\end{array}\)

a) Gọi t là thời gian 2 xe chạy.

Số vòng xe thứ 1 chạy là: \({n_1} = \dfrac{{{v_1}t}}{{{P_1}}} = \dfrac{{7t}}{{2800}} = \dfrac{t}{{400}}\)

Số vòng xe thứ 2 chạy là: \({n_2} = \dfrac{{{v_2}t}}{{{P_2}}} = \dfrac{{8t}}{{2400}} = \dfrac{t}{{300}}\)

Xe thứ 2 chạy số vòng nhiều hơn xe thứ 1 là một vòng nên:

\({n_2} - {n_1} = 1 \Rightarrow \dfrac{t}{{300}} - \dfrac{t}{{400}} = 1 \Rightarrow t = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{300}} - \dfrac{1}{{400}}}} = 1200\,\,\left( s \right) = 20ph\)

Thời điểm cần tìm là 6h20ph.

b) Trong phút đầu tiên, xe thứ 1 đi được quãng đường là:

\(7.60 = 420\,\,\left( m \right) < AB \to \) xe thứ 1 chỉ di chuyển trên AB.

Trong phút đầu tiên, xe thứ 2 đi được quãng đường là:

\(8.60 = 480\,\,\left( m \right) < DA \to \) xe thứ 2 chỉ di chuyển trên DA.

Khoảng cách giữa 2 xe theo thời gian là:

\(\begin{array}{l}l = \sqrt {{{\left( {{v_1}t} \right)}^2} + {{\left( {AD - {v_2}t} \right)}^2}} = \sqrt {49{t^2} + {{\left( {800 - 8t} \right)}^2}} \\ \Rightarrow l = \sqrt {113{t^2} - 12800t + 640000} \,\,\left( m \right)\end{array}\)

Áp dụng tính chất tam thức bậc 2, ta có:

\(l_{\min }^2\)khi \(t = \dfrac{{12800}}{{2.113}} = 56,64\,\,\left( s \right)\)

→ sau 56,64s, khoảng cách giữa 2 xe là ngắn nhất.

Khoảng cách ngắn nhất đó là:

\({l_{\min }} = \sqrt {113.56,{{64}^2} - 12800.56,64 + 640000} = 526,8\,\,\left( m \right)\)

c) Thời gian xe thứ 1 chạy một vòng là:

\(\Delta {t_1} = \dfrac{{{P_1}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{2800}}{7} = 400\,\,\left( s \right)\)

Thời gian xe thứ 2 chạy một vòng là:

\(\Delta {t_2} = \dfrac{{{P_2}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{2400}}{8} = 300\,\,\left( s \right)\)

Gọi \({N_1},{N_2}\) lần lượt là số vòng xe thứ 1 và xe thứ 2 đã chạy.

Thời gian để xe thứ 1 chạy qua C là:

\({t_1} = \dfrac{{AB + AC}}{{{v_1}}} + {N_1}\Delta {t_1} = 200 + 400{N_1}\,\,\left( s \right)\)

Thời gian để xe thứ 2 chạy qua D là:

\({t_2} = {N_2}\Delta {t_2} = 300{N_2}\,\,\left( s \right)\)

Xe thứ 1 đến C cùng lúc xe thứ 2 đến D nên:

\({t_1} = {t_2} \Rightarrow 200 + 400{N_1} = 300{N_2} \Rightarrow 2 + 4{N_1} = 3{N_2}\)

Ta lập bảng:

Do \({N_1},{N_2}\) là các số nguyên dương, kết hợp với bảng trên ta thấy khi xe 2 đi được 10 vòng thì xe 1 đến C và xe 2 đến D cùng lúc, \({t_1} = {t_2} = 3000\,\,\left( s \right) = 50ph\)

→ Thời điểm cần tìm là 6h50ph.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:557240

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.