Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 55772:

Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=(a^{3}+b^{3})^{2}+(a^{2}+b^{2})+\frac{3}{2}ab$

A. $\frac{11}{16}$

B. $\frac{15}{16}$

C. $\frac{16}{15}$

D. $\frac{16}{11}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55772

Giải chi tiết

+) Ta có $F=(a^{3}+b^{3})^{2}+(a+b)^{2}-\frac{1}{2}ab$

+) Ta luôn có bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ $\frac{(a+b)^{3}}{4}$ (*), với mọi a, b > 0.

Thật vậy (*) <=> a² – ab + b²≥ $\frac{(a+b)^{2}}{4}$

<=> 4a² – 4ab + 4b² ≥ a² + 2ab + b² <=> (a – b)² ≥ 0, (luôn đúng).

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: $(a^{3}+b^{3})^{2}$ ≥ $[\frac{(a+b)^{3}}{4}]^{2}$ ≥ $\frac{1}{16}$ .

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab ≤ $\frac{(a+b)^{2}}{4}$

<=> -ab ≥ - $\frac{(a+b)^{2}}{4}$

+) Do đó F ≥ $\frac{1}{16}$ + (a + b)²

^{= + ≥}

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a=b \end{matrix}\right.$ <=> a = b = $\frac{1}{2}$

+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F bằng $\frac{15}{16}$ , đạt được khi a = b = $\frac{1}{2}$ .

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link