So sánh:a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} +

Câu hỏi số 558938:

Vận dụng cao

So sánh:

a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2021}}}}\) và \(B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{{13}}{{60}}\)

b) \(C = \dfrac{{2019}}{{2020}}.\dfrac{{2021}}{{2022}}\) và \(D = \dfrac{{2020 + 2022}}{{2019 + 2021}}.\dfrac{3}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558938

Phương pháp giải

Rút gọn rồi so sánh hai kết quả thu được

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2021}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2A = 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2021}}}}} \right)\\ = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\\ \Rightarrow A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2021}}}}} \right)\\ \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2021}}}} < 1\end{array}\)

\(B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{{13}}{{60}}\)\( = \dfrac{{1.20}}{{3.20}} + \dfrac{{1.15}}{{4.15}} + \dfrac{{1.12}}{{5.12}} + \dfrac{{13}}{{60}} = \dfrac{{20}}{{60}} + \dfrac{{15}}{{60}} + \dfrac{{12}}{{60}} + \dfrac{{13}}{{60}} = \dfrac{{60}}{{60}} = 1\)

Vậy \(A < B\)

b) Ta có:

\(C = \dfrac{{2019}}{{2020}}.\dfrac{{2021}}{{2022}}\)\( = \dfrac{{2019.2021}}{{2020.2022}}\)

Mà \(2019.2021 = \left( {2020 - 1} \right)\left( {2022 - 1} \right) = 2020.2022 - 2020 - 2022 + 1 < 2020.2022\)

Nên \(C < 1\)

\(D = \dfrac{{2020 + 2022}}{{2019 + 2021}}.\dfrac{3}{2}\)

Vì \(2020 + 2022 > 2019 + 2021\) nên \(\dfrac{{2020 + 2022}}{{2019 + 2021}} > 1\)\( \Rightarrow D > 1.\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} > 1\)

Vậy \(C < D\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link