Cho điểm \(E\) thuộc nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(MN\). Tiếp tuyến tại \(N\) của

Câu hỏi số 563890:

Vận dụng cao

Cho điểm \(E\) thuộc nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(MN\). Tiếp tuyến tại \(N\) của nửa đường tròn tâm \(O\) cắt đường thẳng \(ME\) tại \(D\). Kẻ \(OI\) vuông góc với \(ME\) tại \(I\).

a) Chứng minh rằng tam giác \(MEN\) vuông tại \(E\). Từ đó chứng minh \(DE.DM = D{N^2}\).

b) Chứng minh rẳng bốn điểm \(O\), \(I\), \(D\), \(N\)cùng thuộc một đường tròn.

c) Vẽ đường tròn đường kính \(OD\), cắt nửa đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(A\). Chứng minh rằng \(DA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm \(O\) và \(\angle DEA = \angle DAM\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563890

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

b) \(I,N\)thuộc đường tròn đường kính \(OD\)

c) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, chứng minh \(OA \bot AD\) tại \(A\)

\(\Delta DEA \sim \Delta DAM\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle DEA = \angle DAM\)

Giải chi tiết

a) \(\Delta MEN\)nội tiếp \(\left( O \right)\) mà \(MN\) là đường kính của \((O) \Rightarrow \Delta MEN\)vuông tại \(E\) \( \Rightarrow NE \bot MD\).

Do \(ND\)là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow MN \bot ND\) \( \Rightarrow \Delta MND\)vuông tại \(N\)có \(NE \bot MD\)

\( \Rightarrow DE.DM = D{N^2}\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).

b) Do \(OI \bot ME\) tại \(I\) nên \(\Delta OID\)vuông tại \(I\)\( \Rightarrow I\)thuộc đường tròn đường kính \(OD\).(1)

Do \(ON \bot ND\) tại\(N\)nên \(\Delta OND\)vuông tại \(N\)

\( \Rightarrow N\)thuộc đường tròn đường kính \(OD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4\) điểm \(O,I,D,N\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(OD\)(đpcm).

c) \(\Delta OAD\)nội tiếp đường tròn đường kính \(OD\)\( \Rightarrow \Delta OAD\)vuông tại\(A\)

\( \Rightarrow OA \bot DA\) mà \(A\) thuộc đường tròn tâm \(O\).

\( \Rightarrow DA\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) (theo dhnb).

Do\(DA;DN\)là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\).

\( \Rightarrow DA = DN\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(DE.DM = D{N^2}\)

\( \Rightarrow DE.DM = D{A^2} \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{DA}} = \dfrac{{DA}}{{DM}}\)

Từ đó chứng minh \(\Delta DEA\) đồng dạng với \(\Delta DAM\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \angle DEA = \angle DAM\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.