Cho \(A = \dfrac{{3 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}{{6 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...

Câu hỏi số 563891:

Vận dụng cao

Cho $A = \dfrac{{3 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}{{6 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}$ tử số có $2022$ dấu căn, mẫu số có $2021$ dấu căn. Chứng minh $A < \dfrac{1}{4}$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563891

Phương pháp giải

Đặt $\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = a$ $\left( {a > 1} \right)$ (có 2022 dấu căn)

Tính giá trị của $A$ theo $a$ , từ đó biện luận và chứng minh.

Giải chi tiết

Đặt $\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = a$ $\left( {a > 1} \right)$ (có 2022 dấu căn)

$\Leftrightarrow 3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = {a^2}$ (có 2021 dấu căn)

$\Leftrightarrow \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = {a^2} - 3$ .

Khi đó $A = \dfrac{{3 - a}}{{6 - {a^2} + 3}} = \dfrac{1}{{a + 3}}$ .

Do $a > 1 \Rightarrow a + 3 > 4 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + 3}} < \dfrac{1}{4}$ .

Vậy $A < \dfrac{1}{4}$ (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.