Giải phương trình: \(\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} = 2{x^2} - 16x + 34\)

Câu hỏi số 564249:

Vận dụng cao

A. \(x = 4\)

B. \(x = 2\)

C. \(x = 0\)

D. \(x = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564249

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki đánh giá vế phải, sử dụng hằng đẳng thức đánh giá vế trái

Dấu bằng xảy ra và tìm nghiệm của phương trình

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(3 \le x \le 5\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\({\left( {1.\sqrt {x - 3} + 1.\sqrt {5 - x} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {x - 3} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} } \right)^2} \le 2.\left( {x - 3 + 5 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} } \right)^2} \le 4\\ \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} \le 2\\ \Leftrightarrow 0 \le VT \le 2\end{array}\)

Ta có: \(2{x^2} - 16x + 34 = 2\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 2 = 2{\left( {x - 4} \right)^2} + 2\)

Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{\left( {x - 4} \right)^2} + 2 \ge 2,\forall x\\ \Rightarrow VP \ge 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} = \sqrt {5 - x} \\{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 5 - x\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\left( {tmdk} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 4\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.