Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và một điểm \(A\) ở ngoài đường tròn sao cho \(OA =

Câu hỏi số 564248:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và một điểm \(A\) ở ngoài đường tròn sao cho \(OA = 2R\). Qua điểm \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \(O(B\) là tiếp điểm). Qua điểm \(B\) kẻ \(BH\) vuông góc với \(OA\left( {H \in OA} \right)\), \(BH\) kéo dài cắt đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(C\).

1) Tính \(AB\) và \(BH\) nếu \(R = 2cm\)

2) Chứng minh rằng: 4 điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Tia đối của tia \(OA\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(M\). Chứng minh rằng: \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(OA\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564248

Phương pháp giải

1) Vận dụng định lý Py – ta – go, tính \(AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính \(BH\)

2) \(B,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

3) \(I \in \left( O \right)\) và \(IB \bot BM \Rightarrow BM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(OA\)

Giải chi tiết

1) \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\)\( \Rightarrow \angle ABO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(B\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,O{A^2} = A{B^2} + O{B^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = O{A^2} - O{B^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = {4^2} - {2^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 12\\ \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 \end{array}\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(B,BH \bot OA\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow BH = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array}\)

2) \(\Delta OBC\) cân tại \(B\left( {do\,\,\,OB = OC = R} \right)\) có \(OH\) là đường cao (do \(OH \bot BC\))

\( \Rightarrow OH\) là đường phân giác của \(\angle BOC \Rightarrow \angle BOH = \angle HOC\)

Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}OB = OC = R\\\angle BOA = \angle COA\left( {cmt} \right)\\OA\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ABO = {90^0} \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AOC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

\(\Delta ABO\) vuông tại \(B\)

\( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

Vậy \(B,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\) nên bốn điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi \(I\) là trung điểm của \(OA \Rightarrow OI = IA = \dfrac{1}{2}OA = R\)

\( \Rightarrow I \in \left( O \right)\)

Mặt khác, \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(OA\)

Ta có: \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(MI \Rightarrow \angle IBM = {90^0} \Rightarrow MB \bot BI\)

Mà \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(OA\)

\( \Rightarrow BM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(OA\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.