Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q = 2\sqrt {x - 2} + 4\sqrt {x + 1} + 2021 - 2x\)

Câu hỏi số 565221:

Vận dụng cao

A. \({Q_{\max }} = 2025 \Leftrightarrow x = 3\)

B. \({Q_{\max }} = 2016 \Leftrightarrow x = 3\)

C. \({Q_{\max }} = 2025 \Leftrightarrow x = 2\)

D. \({Q_{\max }} = 2016 \Leftrightarrow x = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565221

Phương pháp giải

\( - {f^2}\left( x \right) \le 0\)\( \Rightarrow \) Tìm được giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 2\)

\(Q = 2\sqrt {x - 2} + 4\sqrt {x + 1} + 2021 - 2x\)

\(\begin{array}{l} = - \left( {x - 2} \right) + 2\sqrt {x - 2} - 1 - \left( {x + 1} \right) + 4\sqrt {x + 1} - 4 + 4 + 2021\\ = - {\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} - {\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2} + 2025\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \ge 2 \Rightarrow - {\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} \le 0,\forall x \ge 2\)

\({\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \ge 2 \Rightarrow - {\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2} \le 0,\forall x \ge 2\)

Suy ra \( - {\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} - {\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2} \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} - {\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2} + 2025 \le 2025\\ \Leftrightarrow Q \le 2025\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} - 1 = 0\\\sqrt {x + 1} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} = 1\\\sqrt {x + 1} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\left( {tmdk} \right)\)

Vậy GTLN của \(Q\) bằng \(2025\) khi \(x = 3\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.