Cho đường tròn \(\left( {O;4cm} \right)\), đường kính \(AB\). Lấy điểm \(H\) thuộc \(OA\) sao cho \(OH

Câu hỏi số 565220:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;4cm} \right)\), đường kính \(AB\). Lấy điểm \(H\) thuộc \(OA\) sao cho \(OH = 1cm\). Kẻ dây cung \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) vuông và tính độ dài \(AC\).

b) Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( O \right)\) cắt \(BC\) tại \(E\). Chứng minh \(\Delta BCD\) cân và \(\dfrac{{EC}}{{DH}} = \dfrac{{EA}}{{DB}}\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AE\), đoạn \(IB\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(Q\). Chứng minh \(CI\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565220

Phương pháp giải

a) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({90^0}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \( \Rightarrow AC\)

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tam giác cân

\(\Delta ACE \sim \Delta BHC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{HC}} = \dfrac{{EA}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{HD}} = \dfrac{{EA}}{{BD}}\)

c) \(IC \bot CO \Rightarrow CI\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

Giải chi tiết

a) *Ta có: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

*Ta có: \(AH = AO - HO = 4 - 1 = 3\left( {cm} \right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C,CH \bot AB\,\,\)(vì \(AB \bot CD\) tại \(H\)) ta có:

\(A{C^2} = AH.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = 3.8 = 24\\ \Rightarrow AC = 2\sqrt 6 \left( {cm} \right)\end{array}\)

b) *Xét \(\left( O \right)\) có: \(AB \bot CD\) tại \(H\) mà \(CD\) là dây không đi qua tâm, \(AB\) là đường kính

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(CD\) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét \(\Delta BCD\) có: \(BH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta BCD\) cân tại \(B\)

*\(AE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow \angle BAE = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle EAC = \angle ABE\) (cùng phụ với \(\angle BAC\))

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta BHC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle CAE = \angle ABH\\\angle ACE = \angle BHC = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta BHC\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{HC}} = \dfrac{{EA}}{{BC}}\)

Lại có:

\(\Delta BCD\) cân tại \(B\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC = BD\)

\(H\) là trung điểm của \(CD\left( {cmt} \right) \Rightarrow HC = HD\)

Vậy \(\dfrac{{EC}}{{HD}} = \dfrac{{EA}}{{BD}}\)

c) \(\Delta ACE\) vuông tại \(C\) có \(I\) là trung điểm của \(AE \Rightarrow IA = IC = IE\) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\( \Rightarrow \Delta IAC\) cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \angle IAC = \angle ICA\)

\(\Delta AOC\) cân tại \(O\,\,\left( {do\,\,OA = OC} \right) \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\)

Ta có: \(\angle IAC + \angle CAO = \angle IAO = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow ICA + \angle ACO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle ICO = {90^0}\\ \Rightarrow IC \bot CO\end{array}\)

Mà \(C\) thuộc đường tròn tâm \(O\)

\( \Rightarrow CI\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.