Với \(x > 0\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{1 - 4\sqrt x + 3x}}{x}\)

Câu hỏi số 565461:

Vận dụng

A. \({P_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\)

B. \({P_{\min }} = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{9}\)

C. \({P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\)

D. \({P_{\min }} = - 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{9}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565461

Phương pháp giải

Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức

Đặt \(\dfrac{1}{{\sqrt x }}\,\left( {t > 0} \right)\) đưa biểu thức ban đầu về biểu thức của một tam thức bậc hai

Sử dụng hằng đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải chi tiết

Với \(x > 0\), ta có: \(P = \dfrac{{1 - 4\sqrt x + 3x}}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 3\)

Đặt \(\dfrac{1}{{\sqrt x }}\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó \(P = {t^2} - 4t + 3\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{t^2} - 4t + 4} \right) - 4 + 3\\ = {\left( {t - 2} \right)^2} - 1\end{array}\)

Vì \({\left( {t - 2} \right)^2} \ge 0,\forall t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} - 1 \ge - 1,\forall t\\ \Rightarrow P \ge - 1\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tmdk} \right)\)

Vậy GTNN của \(P\) bằng \( - 1\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.