Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại

Câu hỏi số 565901:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\) Trên \(\Delta \) lấy điểm \(M\) sao cho \(MA > R.\) Qua \(M\) vẽ tiếp tuyến \(MC\) \((C\) thuộc đường tròn \((O),\)\(C\) khác \(A).\) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\) và \(AM.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(O\) và vuông góc với \(AB.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(BC.\)

1) Chứng minh \(OM{\rm{//}}BN\) và \(MC = NO.\)

2) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(MB\) và \(CH,\) \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(OM.\) Chứng minh đường thẳng \(QK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\)

3) Gọi \(F\) là giao điểm của \(QK\) và \(AM,\) \(E\) là giao điểm \(CD\) và \(OM.\) Chứng minh tứ giác \(FEQO\) là hình bình hành. Khi \(M\) thay đổi trên \(\Delta ,\) tìm giá trị lớn nhất của \(QF + EO.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565901

Giải chi tiết

Ta có \(MA = MC\) và \(OA = OC\) suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC, suy ra \(MO \bot AC.\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Do \(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow AC \bot BN.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MO{\rm{//B}}N.\,\,\)

Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NOB\) vuông tại \(A\) và \(O\); \(AO = OB\); \(\angle AOM = \angle NBO\)( hai góc đồng vị)

Suy ra \(\Delta MAO = \Delta NOB \Rightarrow MA = NO.\)

Mặt khác :\(MA = MC\,\, \Rightarrow MC = ON.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Do \(QH{\rm{//}}AM\) suy ra \(\dfrac{{QH}}{{AM}} = \dfrac{{BH}}{{BA}}\,\,\,(3).\)

Do \(CH{\rm{//}}ON\) suy ra \(\dfrac{{CH}}{{ON}} = \dfrac{{HB}}{{OB}} \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{AM}} = \dfrac{{HB}}{{\dfrac{1}{2}AB}}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)

Từ (3) và (4) ta có \(QH = \dfrac{1}{2}CH\), suy ra \(Q\) là trung điểm của \(CH.\)

Lại có \(K\) là trung điểm \(AC.\) Suy ra \(QK\) đi qua trung điểm của \(CB.\)

Chứng minh \(ADCH\) là hình chữ nhật. Do \(K\) là trung điểm \(AC\)và Q là trung điểm \(CH\) suy ra \(F\) là trung điểm \(AD.\)

Ta có \(\Delta EKC = \Delta OKA\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KE = KO\)

Ta có \(\Delta FKA = \Delta QKC\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KF = KQ.\)

Suy ra \(FEQO\) là hình bình hành.

Ta có \(FQ + EO = AH + CB = AH + \sqrt {BH.BA} = AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} .\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} = AH + \dfrac{1}{{AB}} \cdot 2 \cdot \dfrac{{AB}}{2} \cdot \sqrt {A{B^2} - AB.AH} \\ \le AH + \dfrac{1}{{AB}}\left( {\dfrac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} - AB.AH} \right) = \dfrac{5}{4}AB.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(AH = \dfrac{3}{4}AB \Leftrightarrow AM = \sqrt 3 .R.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link