Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(1.\) Bên trong hình vuông người ta lấy tùy ý

Câu hỏi số 565903:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(1.\) Bên trong hình vuông người ta lấy tùy ý \(2021\) điểm phân biệt \({A_1},\,\,{A_2},...,\,\,{A_{2021}}\) sao cho \(2025\) điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,{A_1},\,\,{A_2},...,\,\,{A_{2021}}\) không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng từ \(2025\) điểm trên luôn tồn tại \(3\) điểm là 3 đỉnh của hình tam giác có diện tích không quá \(\dfrac{1}{{4044}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565903

Giải chi tiết

Ta chứng minh từ 2025 điểm đã cho tạo ra được đúng 4044 tam giác không có điểm trong chung (tức là: mọi điểm Y đã nằm ở miền trong tam giác này thì không nằm ở miền trong tam giác kia)

Bước 1: từ A, B, C, D và \({A_1}\) tạo ra được 4 tam giác không có điểm trong chung.

Bước 2: Điểm \({A_2}\) sẽ nằm bên trong của một trong 4 tam giác đã có. Không mất tính tổng quát ta giả sử \({A_2}\) nằm trong \(\Delta AB{A_1}\), khi đó sẽ tạo ra thêm được 2 tam giác. Như vậy có \(4 + 2 = 6\) tam giác không có điểm trong chung.

Bước 3: Điểm \({A_3}\) sẽ nằm ở một trong 6 tam giác đã có, không mất tính tổng quát, giả sử \({A_3}\) nằm trong \(\Delta AB{A_2}\). Khi đó ta có \(6 + 2 = 8\) tam giác không có điểm trong chung.

Sau 2021 bước như vậy thì hình vuông đã cho được chia thành 4044 tam giác không có điểm trong chung.

Mặt khác tổng diện tích 4044 tam giác đó bằng 1, suy ra tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích không quá \(\dfrac{1}{{4044}}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.