Cho ba số thực dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn $x + y + z \le 1.$ Chứng minh rằng\(\left(

Câu hỏi số 565904:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn $x + y + z \le 1.$ Chứng minh rằng

$\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565904

Giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + z} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\end{array}$

Do $x + y + z \le 1$ nên ta có

$\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)$ $\ge \left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh được: $\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).$

Và: $\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)$ $\ge 2\sqrt {x + y} \sqrt {x + z} \,\,\,2\sqrt {y + x} \sqrt {y + z} \,\,\,2\sqrt {z + x} \sqrt {z + y} \,$

$\begin{array}{l} = 8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\ \ge 8.8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\end{array}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}.$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11 - 2K8

Lớp 10 - 2K9

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8 - 2K11

Lớp 7 - 2K12

Lớp 6 - 2K13

Lớp 5 - 2K14 - 2025

Lớp 4 - 2K15

Lớp 3 - 2K16

Lớp 2 - 2K17

Lớp 1 - 2K18

Cho ba số thực dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn $x + y + z \le 1.$ Chứng minh rằng\(\left(

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11 - 2K8

Lớp 10 - 2K9

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8 - 2K11

Lớp 7 - 2K12

Lớp 6 - 2K13

Lớp 5 - 2K14 - 2025

Lớp 4 - 2K15

Lớp 3 - 2K16

Lớp 2 - 2K17

Lớp 1 - 2K18

Cho ba số thực dương x,y,zx,y,zx,\,\,y,\,\,z thỏa mãn x+y+z≤1.x+y+z≤1.x + y + z \le 1. Chứng minh rằng\(\left(

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho ba số thực dương $x,\,\,y,\,\,z$ thỏa mãn $x + y + z \le 1.$ Chứng minh rằng\(\left(