Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng\(\left(

Câu hỏi số 565904:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng

\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565904

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + z} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\end{array}\)

Do \(x + y + z \le 1\) nên ta có

\(\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\)\( \ge \left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Và: \(\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\)\( \ge 2\sqrt {x + y} \sqrt {x + z} \,\,\,2\sqrt {y + x} \sqrt {y + z} \,\,\,2\sqrt {z + x} \sqrt {z + y} \,\)

\(\begin{array}{l} = 8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\ \ge 8.8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \dfrac{1}{3}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.