Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\) . Chứng minh rằng \(xyz\) chia

Câu hỏi số 565908:

Vận dụng

Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\) . Chứng minh rằng \(xyz\) chia hết cho 24.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565908

Giải chi tiết

Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2{\rm{x}}yz\) nên \(2{\rm{x}}yz\) chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.

Khi đó: \({x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\) (*)

Nếu y lẻ \( \Rightarrow \) \({y^2}\) lẻ \( \Rightarrow \) lẻ \({z^2}\) \( \Rightarrow \) \(z\) lẻ

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\)

\( \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\)

\( \Rightarrow {y^2} + {z^2}\) chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))

Do đó y chẵn và z chẵn \( \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\)

\( \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\)

Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \({x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\)

Do đó \(2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\) (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)

Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \(xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(xyz \vdots 24\)

Vậy \(xyz \vdots 24\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.