Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\) . Chứng minh rằng \(xyz\) chia

Câu hỏi số 565908:

Vận dụng

Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz\) . Chứng minh rằng \(xyz\) chia hết cho 24.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565908

Giải chi tiết

Vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2{\rm{x}}yz\) nên \(2{\rm{x}}yz\) chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn.

Khi đó: \({x^2} \vdots 4;\,\,\,\,2{\rm{x}}yz \vdots 4 \Rightarrow {y^2} + {z^2} \vdots 4\) (*)

Nếu y lẻ \( \Rightarrow \) \({y^2}\) lẻ \( \Rightarrow \) lẻ \({z^2}\) \( \Rightarrow \) \(z\) lẻ

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2k + 1 \Rightarrow {y^2} = 4{k^2} + 4k + 1\\z = 2m + 1 \Rightarrow {z^2} = 4{m^2} + 4m + 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k;m \in Z} \right)\)

\( \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 4{k^2} + 4k + 4{m^2} + 4m + 2\)

\( \Rightarrow {y^2} + {z^2}\) chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*))

Do đó y chẵn và z chẵn \( \Rightarrow y \vdots 2;\,\,\,z \vdots 2\)

\( \Rightarrow xyz \vdots 8\,\,\,(1)\)

Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên \({x^2};{y^2};{z^2} \equiv 1(mo{\rm{d}}\,{\rm{3)}}\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \vdots 3\)

Do đó \(2xyz \vdots 3 \Rightarrow xyz \vdots 3\) (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3)

Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay \(xyz \vdots 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(xyz \vdots 24\)

Vậy \(xyz \vdots 24\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link