Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E
Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AH vuông góc với BC.
b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp.
c) Cho \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.
Quảng cáo
a) Ta có các góc \(BDC = {90^0};\,BEC\, = {90^0}\)
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot DC \Rightarrow BD \bot AC\\\,\,\,\,\,\,\,CE \bot BE \Rightarrow CE \bot AB\end{array}\)
Xét tam giác ABC có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AC\\BD \cap CE = H\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) H là trực tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow AH \bot BC\).
b) Kéo dài AH cắt BC tại F.
Xét tứ giác AEHD có \(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Lại có K là trung điểm của AH \( \Rightarrow K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
\( \Rightarrow KA = KE = KH = KD\)
\( \Rightarrow \Delta KDH\) cân tại K \( \Rightarrow \angle KDH = \angle KHD = \angle BHF\) (1)
Xét tam giác OBD có \(OB = OD\,\left( { = R} \right) \Rightarrow \Delta OBD\) cân tại O \( \Rightarrow \angle ODB = \angle OBD\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle KDH + \angle ODB = \angle BHF + \angle OBD = {90^0} \Rightarrow \angle KDO = {90^0}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\Delta KEH\) cân tại K \( \Rightarrow \angle KEH = \angle KHE = \angle CHF\)
Tam giác OCE có OC = OE \( \Rightarrow \Delta OCE\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OEC = \angle OCE\)
\( \Rightarrow \angle KEH + \angle OEC = \angle CHF + \angle OCE = {90^0} \Rightarrow \angle KEO = {90^0}\)
Xét tứ giác OEKD có \(\angle KDO + \angle KEO = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OEKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
c) Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \angle ABC + \angle EDC = {180^0} \)
Mà \(\angle EDC + \angle ADE = {180^0} \) (kề bù)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle ADE \)
+) Xét \(\Delta ADE \) và \(\Delta ABC \)có:
\(\angle A \) : chung
\(\angle ABC = \angle ADE \) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta ADE \) đồng dạng \(\Delta ABC \) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \) (1)
+) \(\Delta ADB \)vuông tại D
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = {\mathop{\rm cosBAD}\nolimits} = \cos {60^0} = \dfrac{1}{2} \) (2)
Từ (1), (2) suy ra : \( \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,\,(cm) \)
Vậy \(DE = 4\,\,cm \).
+) \(\Delta ADE \) đồng dạng \(\Delta ABC \) với tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{1}{2} \)
Khi đó: \( \dfrac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( { \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
