Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol

Câu hỏi số 567597:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}.\)

a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567597

Phương pháp giải

a) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

b) Sử dụng định lý Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) ta có

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\)

Vì \(\Delta ' > 0\) nên phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\) hay đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo câu a) ta có đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) thì \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Xét \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\) (ĐK: \({x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) )

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 2 + {x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 2m = - 2 + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 3\) là giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link