Giải phương trình \(\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\)

Câu hỏi số 571471:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571471

Giải chi tiết

Cách 1:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x.1} \le \dfrac{{x + 1}}{2}\\\sqrt {\left( {3x - 2} \right).1} \le \dfrac{{\left( {3x - 2} \right) + 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt x + \sqrt {3x - 2} \le 2x\,\,\,\left( * \right)\)

\({x^2} + 1 \ge 2\sqrt {{x^2}} = 2x\,\,\,\left( {do\,\,x \ge 0} \right)\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) ta có: \(\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3x - 2 = 1\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Cách 2:

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{2}{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {3x - 2} = 2{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4x - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + \left( {3x - 2 - 2\sqrt {3x - 2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \dfrac{2}{3}\) nên

\(\begin{array}{l}2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt x - 1 = 0\\\sqrt {3x - 2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\\\sqrt {3x - 2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link