Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x

Câu hỏi số 583816:

Vận dụng

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

b) \(\dfrac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\)

c) \(\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}} = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1\)

Xem lời giải

Câu hỏi:583816

Phương pháp giải

a) Thêm bớt tạo hằng đẳng thức, sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

b) Sử dụng \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\).

c) Sử dụng công thức: \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

\(\dfrac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \dfrac{1}{{\tan x}}}} = \dfrac{{\dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\dfrac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = 1 + {\tan ^2}x + \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.