Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x

Câu hỏi số 583816:

Vận dụng

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

b) \(\dfrac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\)

c) \(\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}} = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583816

Phương pháp giải

a) Thêm bớt tạo hằng đẳng thức, sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

b) Sử dụng \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\).

c) Sử dụng công thức: \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

\(\dfrac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \dfrac{1}{{\tan x}}}} = \dfrac{{\dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\dfrac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \dfrac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = 1 + {\tan ^2}x + \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.