Chứng minh các đẳng thức sau:a) ${\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$ b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x

Câu hỏi số 583820:

Vận dụng

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$

b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

c) $\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}} + \dfrac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583820

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức $\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$ , $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$ .

b) Sử dụng ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ và hằng đẳng thức ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$ .

c) Sử dụng công thức $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$ , $\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$ , ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ .

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}VT = {\tan ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {\sin ^2}x\\ = \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right){\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}VT = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}VT = \dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}} + \dfrac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = {\tan ^3}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}} + {\cot ^3}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ = {\tan ^3}x + \tan x - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}} + {\cot ^3}x + \cot x\\ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x + \tan x + \cot x - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\\ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\\ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\sin x}} - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\\ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x + \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\\ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.