Biết \(\sin x + \cos x = m\). Tìm \(\left| {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right|\) theo m.

Câu hỏi số 583826:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583826

Phương pháp giải

- Bình phương hai vế \(\sin x + \cos x = m\), tìm \(\sin x\cos x\) theo m.

- Sử dụng hằng đẳng thức phân tích \(\left| {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right|\) theo \(\sin x\cos x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = m\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {m^2}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = {m^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = {m^2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\end{array}\)

Đặt \(A = \left| {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow A = \left| {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right|\\ \Leftrightarrow A = \left| {\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow {A^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {A^2} = \left( {1 - 2\sin x\cos x} \right){m^2}\\ \Leftrightarrow {A^2} = \left[ {1 - \left( {{m^2} - 1} \right)} \right]{m^2}\\ \Leftrightarrow {A^2} = \left( {2 - {m^2}} \right){m^2}\\ \Leftrightarrow {A^2} = 2{m^2} - {m^4}\\ \Leftrightarrow A = \sqrt {2{m^2} - {m^4}} \end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10