. Cho các số a, b thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \ge \dfrac{9}{4}\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 584336:

Vận dụng cao

. Cho các số a, b thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \ge \dfrac{9}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + 2{b^2} + b\).

A. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{3}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{3},\,\,b = - \dfrac{1}{3}\).

B. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\) khi \(a = \dfrac{3}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

C. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

D. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{5}{4}\) khi \(a = \dfrac{3}{2},\,\,b = - \dfrac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:584336

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\) để chứng minh.

Giải chi tiết

Sử dụng BĐT \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\) ta có: \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \le \dfrac{{{{\left( {a - b + 2} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a - b + 2} \right)}^2}}}{4} \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow a - b + 2 \ge 3 \Leftrightarrow a \ge b + 1\)

Thay vào P ta được:

\(\begin{array}{l}P = {a^2} + 2{b^2} + b \ge {\left( {b + 1} \right)^2} + 2{b^2} + b\\ \Leftrightarrow P \ge {b^2} + 2b + 1 + 2{b^2} + b\\ \Leftrightarrow P \ge 3{b^2} + 3b + 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,3{b^2} + 3b + 1\\ = 3\left( {{b^2} + b} \right) + 1\\ = 3\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{3}{4} + 1\\ = 3{\left( {b + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{1}{4}\,\,\forall b\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + a = 1 - b\\a = b + 1\\b + \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\a = b + 1\\b = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link