. Cho các số a, b thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \ge \dfrac{9}{4}\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 584336:

Vận dụng cao

. Cho các số a, b thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \ge \dfrac{9}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + 2{b^2} + b\).

A. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{3}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{3},\,\,b = - \dfrac{1}{3}\).

B. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\) khi \(a = \dfrac{3}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

C. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

D. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{5}{4}\) khi \(a = \dfrac{3}{2},\,\,b = - \dfrac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:584336

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\) để chứng minh.

Giải chi tiết

Sử dụng BĐT \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\) ta có: \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right) \le \dfrac{{{{\left( {a - b + 2} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a - b + 2} \right)}^2}}}{4} \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow a - b + 2 \ge 3 \Leftrightarrow a \ge b + 1\)

Thay vào P ta được:

\(\begin{array}{l}P = {a^2} + 2{b^2} + b \ge {\left( {b + 1} \right)^2} + 2{b^2} + b\\ \Leftrightarrow P \ge {b^2} + 2b + 1 + 2{b^2} + b\\ \Leftrightarrow P \ge 3{b^2} + 3b + 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,3{b^2} + 3b + 1\\ = 3\left( {{b^2} + b} \right) + 1\\ = 3\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{3}{4} + 1\\ = 3{\left( {b + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{1}{4}\,\,\forall b\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + a = 1 - b\\a = b + 1\\b + \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\a = b + 1\\b = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link