Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh cắt hính nón (N) theo thiết

Câu hỏi số 589645:

Vận dụng cao

Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh cắt hính nón (N) theo thiết diện là tam giác đều. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng (P) bằng \(\sqrt 6 \). Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) bằng

A. \(27\pi \).

B. \(81\pi \).

C. \(12\pi \).

D. \(36\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589645

Phương pháp giải

- Dựa vào khoảng cách tính cạnh của tam giác thiết diện

- Tính bán kính đáy

- Tính thể tích khối nón

Giải chi tiết

Xét hình nón như hình vẽ với \(\left( P \right) \equiv \left( {SAB} \right)\)

Theo giả thiết ta có SO = 3.

Gọi I là trung điểm của AB.

Kẻ \(OK \bot SI,\,\,K \in SI\).

Khi đó \(\left( {SOI} \right) \bot AB \Rightarrow \left( {SOI} \right) \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OK = \sqrt 6 \)

Ta có: \(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OI = 3\sqrt 2 \)

Khi đó \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {9 + 18} = 3\sqrt 3 \)

Lại có: \(SI = \dfrac{{SB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SB = \dfrac{{2SI}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 6\)

\( \Rightarrow OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = \sqrt {36 - 9} = 3\sqrt 3 \).

Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) là \(V = \dfrac{1}{3}.\pi .O{B^2}.SO = \dfrac{1}{3}.{\left( {3\sqrt 3 } \right)^2}.3\pi = 27\pi \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.