Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 9. Gọi M là trung điểm AA’, điểm N nằm

Câu hỏi số 589644:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 9. Gọi M là trung điểm AA’, điểm N nằm trên cạnh BB’ sao cho \(BN = \dfrac{3}{4}BB'\). Mặt phẳng (CMN) cắt đường thẳng A’C’ tại P và cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích khối đa diện A’MPB’NQ bằng

A. \(\dfrac{{21}}{4}\).

B. \(\dfrac{7}{9}\).

C. \(\dfrac{7}{3}\).

D. \(\dfrac{{11}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589644

Phương pháp giải

- Dùng tỉ số thể tích của khối đa diện

- Chú ý:

Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ lần lượt tại M, N, P sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AA'}} = x,\) \(\dfrac{{BN}}{{BB'}} = y,\) \(\dfrac{{CP}}{{CC'}} = z\) khi đó \({V_{ABC.MNP}} = \dfrac{{x + y + z}}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\).

Giải chi tiết

Do M là trung điểm của CP nên A’ là trung điểm của C’P hay \({S_{C'PB'}} = 2{S_{C'B'A'}}\)

Ta có: \(\dfrac{{QB'}}{{QC'}} = \dfrac{{NB'}}{{CC'}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow QC' = \dfrac{4}{3}B'C' \Rightarrow {S_{QPC'}} = \dfrac{4}{3}{S_{PB'C'}}\)

Do đó \({S_{C'PQ}} = \dfrac{4}{3}.2{S_{A'B'C'}} = \dfrac{8}{3}{S_{A'B'C'}}\)

Ta có: \({V_{C.PQC'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C.A'C'B'} \right).{S_{C'PQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C.A'C'B'} \right).\dfrac{4}{3}.2{S_{A'B'C'}} = \dfrac{8}{9}{V_{ABC.A'B'C'}}\)

Lại có: \({V_{A'B'C'.MNC}} = \dfrac{{\dfrac{{A'M}}{{A'A}} + \dfrac{{B'N}}{{B'B}} + \dfrac{{C'C}}{{C'C}}}}{3}{V_{A'B'C'ABC}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + 1}}{3}{V_{A'B'C'ABC}} = \dfrac{7}{{12}}{V_{ABCA'B'C'}}\)

Mặt khác: \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{CPQC'}} - {V_{A'B'C'MNC}} = \left( {\dfrac{8}{9} - \dfrac{7}{{12}}} \right){V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{11}}{{36}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{11}}{{36}}.9 = \dfrac{{11}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.