Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minha. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN}

Câu hỏi số 592206:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh

a. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \)

b. \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592206

Phương pháp giải

Nếu M là trung điểm của AB thì với mọi điểm O là luôn có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \)

Giải chi tiết

a. Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right),\,\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right),\,\overrightarrow {CP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\) nên

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \end{array}\)(đpcm)

b. Vì P là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PB} \). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PM} \).

Mà PM là đường trung bình trong tam giác ABC nên suy ra \(\overrightarrow {PM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.