Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ

Câu hỏi số 594515:

Vận dụng

Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).

c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594515

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) \(\Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\)

c) \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\); \(\Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\); \(\Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\)

\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH

Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)

Vậy SC đi qua trung điểm của BH.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.

+ SA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A \( \Rightarrow \angle SAO = {90^0}\)

+ SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B \( \Rightarrow \angle SBO = {90^0}\)

Tứ giác SAOB có: \(\angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow \) SAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).

Xét (O) có: \(\angle ACD = \angle SAD\)(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD

\( \Rightarrow \angle ACS = \angle SAD\)

Xét \(\Delta SAD\) và \(\Delta SCA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ASC\,\,\,chung\\\angle ACS = \angle SAD\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\\ \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\end{array}\)

c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.

SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SA = SC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Gọi I là giao điểm của SC và BH

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH//AC \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{SA}} = \dfrac{{CI}}{{CS}}\)(Theo định lý Ta – lét)

\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\) (1)

Ta có: \(\angle HBC = \angle BAC\) (cùng phụ với góc \(\angle ACB\))

\(\angle BAC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

\( \Rightarrow \angle HBC = \angle BDC\)

\( \Rightarrow \angle IBC = \angle BDC\)

Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta BDC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BCD\,\,\,chung\\\angle IBC = \angle BDC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{BD}} = \dfrac{{IC}}{{BC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Xét (O) có: \(\angle SBD = \angle SCB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Xét \(\Delta SBD\) và \(\Delta SCB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BSC\,\,\,chung\\\angle SBD = \angle SCB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\)

\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH

Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)

Vậy SC đi qua trung điểm của BH.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link