Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) (m là tham số). Giả sử \({x_1},{x_2}\) là

Câu hỏi số 594585:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) (m là tham số). Giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594585

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\\{x_1}{x_2}\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên suy ra \(x_1^2\)

Thay \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2};x_1^2\,\) vào hệ thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m = {m^2} + 2m + 1 - 2m = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 = 2\left( {m + 1} \right){x_1} - 2m\end{array}\)

Theo đề bài:

\(P = x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {m + 1} \right){x_1} - 2m + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\\ = 2\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4{x_1}{x_2}\\ = 2\left( {m + 1} \right).2.\left( {m + 1} \right) - 2m + 4.2m\\ = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 6m\\ = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 6m\\ = 4{m^2} + 8m + 4 + 6m\\ = 4{m^2} + 14m + 4\\ = {\left( {2m} \right)^2} + 2.2m.\dfrac{7}{2} + \dfrac{{49}}{4} - \dfrac{{49}}{4} + 4\\ = {\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{33}}{4}\end{array}\)\(\)

Vì \({\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{33}}{4} \ge \dfrac{{ - 33}}{4},\forall m\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{ - 33}}{4}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m + \dfrac{7}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{7}{4}\left( {tm} \right)\)

Vậy GTNN của P là \( - \dfrac{{33}}{4}\) khi \(m = - \dfrac{7}{4}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.