Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) (m là tham số). Giả sử \({x_1},{x_2}\) là

Câu hỏi số 594585:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) (m là tham số). Giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594585

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\\{x_1}{x_2}\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên suy ra \(x_1^2\)

Thay \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2};x_1^2\,\) vào hệ thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m = {m^2} + 2m + 1 - 2m = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 = 2\left( {m + 1} \right){x_1} - 2m\end{array}\)

Theo đề bài:

\(P = x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {m + 1} \right){x_1} - 2m + 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 4{x_1}{x_2}\\ = 2\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4{x_1}{x_2}\\ = 2\left( {m + 1} \right).2.\left( {m + 1} \right) - 2m + 4.2m\\ = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 6m\\ = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 6m\\ = 4{m^2} + 8m + 4 + 6m\\ = 4{m^2} + 14m + 4\\ = {\left( {2m} \right)^2} + 2.2m.\dfrac{7}{2} + \dfrac{{49}}{4} - \dfrac{{49}}{4} + 4\\ = {\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{33}}{4}\end{array}\)\(\)

Vì \({\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2m + \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{33}}{4} \ge \dfrac{{ - 33}}{4},\forall m\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{ - 33}}{4}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m + \dfrac{7}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{7}{4}\left( {tm} \right)\)

Vậy GTNN của P là \( - \dfrac{{33}}{4}\) khi \(m = - \dfrac{7}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link