Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 2x - m\) (m là tham

Câu hỏi số 594783:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 2x - m\) (m là tham số)

a) Vẽ \(\left( P \right)\).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

c) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(Q = {x_1}{x_2}\left( {{y_1} + {y_2} - 2} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594783

Phương pháp giải

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Thay \(x = 0,\,\,y = 1\) vào phương trình đường thẳng (d) tìm được m.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) (1)

Yêu cầu đề bài \( \Leftrightarrow \)phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) theo m

Thay vào biểu thức Q, tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Vẽ Parabol (P).

Xét parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\)

Hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và có bề lõm hướng lên trên.

Bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) Parabol (P) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\,\,\left( { - 1;1} \right),\,\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1;1} \right),\,\,\left( {2;4} \right)\).

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\).

Thay \(x = 0,\,\,y = 1\) vào phương trình đường thẳng (d) ta có: \(1 = 2.0 - m \Leftrightarrow m = - 1\).

Vậy \(m = - 1\).

c) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(Q = {x_1}{x_2}\left( {{y_1} + {y_2} - 2} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 2x - m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {1^2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 1\).

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}Q = {x_1}{x_2}\left( {{y_1} + {y_2} - 2} \right)\\Q = {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2 - 2} \right)\\Q = {x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2} \right]\\Q = m\left( {4 - 2m - 2} \right)\\Q = - 2{m^2} + 2m\\Q = - 2\left( {{m^2} - m} \right)\\Q = - 2\left( {{m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{2}\\Q = - 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\) \( \Rightarrow - {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0\,\,\forall x\) \( \Leftrightarrow - 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2}\,\,\forall m\)

Do đó \(Q \le \dfrac{1}{2}\,\,\forall m\). Dấu “=” xảy ra khi \(m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) thì Q đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link