Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP >
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP > R. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P của đường tròn (O).
a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BM//OP.
c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.
i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.
ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
c) i)Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc bằng 90 độ là hình chữ nhật.
ii) JK đi qua trung tâm I của tam giác PJO nên J, I, K thẳng hàng
a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.
AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A ⇒AP⊥AO⇒∠PAO=900⇒AP⊥AO⇒∠PAO=900
MP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M ⇒PM⊥OM⇒∠PMO=900⇒PM⊥OM⇒∠PMO=900
Xét tứ giác AOMP có: ∠PAO+∠PMO=900+900=1800∠PAO+∠PMO=900+900=1800 mà hai góc này đối nhau
⇒AOMP⇒AOMP là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Chứng minh BM//OP.
Tứ giác AOMP nội tiếp (cmt) ⇒∠AMP=∠AOP⇒∠AMP=∠AOP (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AP)
Xét (O) có: ∠ABM=∠AMP∠ABM=∠AMP(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)
Suy ra ∠AOP=∠ABM∠AOP=∠ABM mà hai góc này ở vị trí đồng vị
⇒BM//OP⇒BM//OP (đpcm)
c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.
i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.
AP,MPAP,MP là tiếp tuyến của đường tròn (O)⇒PO⇒PO là phân giác của ∠APM⇒∠APO=∠OPM(1)∠APM⇒∠APO=∠OPM(1)
Xét ΔAOPΔAOP và ΔOBNΔOBNcó:
AO=OB=R∠PAO=∠NOB=900∠AOP=∠NBO(cmt)}⇒ΔAOP=ΔOBN(g.c.g)⇒∠APO=∠ONB (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2), suy ra ∠OPM=∠ONBhay∠OPM=∠ONM
Xét tứ giác OPNM có: ∠OPM=∠ONM mà hai góc này có hai đỉnh P, N kề nhau cùng nhìn cung OM
⇒OPNM là tứ giác nội tiếp (dhnb)
⇒∠PNO=∠PMO=900(do∠PMO=900)
Ta có: ON⊥AB tại O(gt)⇒∠AON=900
Xét tứ giác AONP có: ∠PAO=∠AON=∠ONP=900
⇒AONP là hình chữ nhật
ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Xét tam giác OIP có:
PM⊥OION⊥PJON∩PM={I}}⇒I là trực tâm của tam giác OIP
AONP là hình chữ nhật (cmt) ⇒PN//AO⇒∠OPN=∠POA(hai góc so le trong)
PA, PM là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒OP là tia phân giác của ∠AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒∠AOP=∠POM
Suy ra ∠OPN=∠POM hay ∠JPO=∠JOP
⇒ΔPJO cân tại J
Lại có K là giao điểm của AN và OP nên K là trung điểm của OP
⇒JK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác PJO
⇒JK đi qua trực tâm I
⇒J,I,K thẳng hàng.
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com