Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP >

Câu hỏi số 594785:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm P sao cho AP > R. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P của đường tròn (O).

a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh BM//OP.

c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.

i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.

ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594785

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

c) i)Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc bằng 90 độ là hình chữ nhật.

ii) JK đi qua trung tâm I của tam giác PJO nên J, I, K thẳng hàng

Giải chi tiết

a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp.

AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A \( \Rightarrow AP \bot AO \Rightarrow \angle PAO = {90^0}\)

MP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M \( \Rightarrow PM \bot OM \Rightarrow \angle PMO = {90^0}\)

Xét tứ giác AOMP có: \(\angle PAO + \angle PMO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow AOMP\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh BM//OP.

Tứ giác AOMP nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AMP = \angle AOP\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AP)

Xét (O) có: \(\angle ABM = \angle AMP\)(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

Suy ra \(\angle AOP = \angle ABM\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow BM//OP\) (đpcm)

c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N, OM cắt PN tại J.

i) Chứng minh AONP là hình chữ nhật.

\(AP,MP\) là tiếp tuyến của đường tròn (O)\( \Rightarrow PO\) là phân giác của \(\angle APM \Rightarrow \angle APO = \angle OPM\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AOP\) và \(\Delta OBN\)có:

\(\left. \begin{array}{l}AO = OB = R\\\angle PAO = \angle NOB = {90^0}\\\angle AOP = \angle NBO\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AOP = \Delta OBN\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow \angle APO = \angle ONB\) (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle OPM = \angle ONB\,\,\,hay\,\,\,\angle OPM = \angle ONM\)

Xét tứ giác OPNM có: \(\angle OPM = \angle ONM\) mà hai góc này có hai đỉnh P, N kề nhau cùng nhìn cung OM

\( \Rightarrow OPNM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle PNO = \angle PMO = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\angle PMO = {{90}^0}} \right)\)

Ta có: \(ON \bot AB\) tại \(O\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AON = {90^0}\)

Xét tứ giác AONP có: \(\angle PAO = \angle AON = \angle ONP = {90^0}\)

\( \Rightarrow AONP\) là hình chữ nhật

ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AOPN và I là giao điểm của PM và ON. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Xét tam giác \(OIP\) có:

\(\left. \begin{array}{l}PM \bot OI\\ON \bot PJ\\ON \cap PM = \left\{ I \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác OIP

AONP là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow PN//AO \Rightarrow \angle OPN = \angle POA\)(hai góc so le trong)

PA, PM là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow OP\) là tia phân giác của \(\angle AOM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle AOP = \angle POM\)

Suy ra \(\angle OPN = \angle POM\) hay \(\angle JPO = \angle JOP\)

\( \Rightarrow \Delta PJO\) cân tại \(J\)

Lại có K là giao điểm của AN và OP nên K là trung điểm của OP

\( \Rightarrow JK\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác PJO

\( \Rightarrow JK\) đi qua trực tâm I

\( \Rightarrow J,I,K\) thẳng hàng.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.