Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, G1, G2 theo thứ tự là trọng tâm của các tam

Câu hỏi số 596710:

Vận dụng

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, G₁, G₂ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, ABM, ACM. Chứng minh rằng G là trung điểm của G₁G₂.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596710

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất vectơ trung tuyến, trọng tâm:

+ M là trung điểm của AB, với mọi điểm O ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \).

+ G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).

Để chứng minh G là trung điểm của G₁G₂ ta chứng minh \(\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} = 2\overrightarrow {OG} \).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, G, G₁, G₂ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, ABM, ACM nên với mọi điểm O ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {O{G_1}} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {O{G_2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\overrightarrow {O{G_1}} + 3\overrightarrow {O{G_2}} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OM} } \right)\\ \Rightarrow 3\overrightarrow {O{G_1}} + 3\overrightarrow {O{G_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} } \right) = 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} } \right) = 3\overrightarrow {OG} + 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} = 2\overrightarrow {OG} \end{array}\)

Vậy G là trung điểm của G₁G₂ (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10