Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, G1, G2 theo thứ tự là trọng tâm của các tam

Câu hỏi số 596710:

Vận dụng

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, G₁, G₂ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, ABM, ACM. Chứng minh rằng G là trung điểm của G₁G₂.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596710

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất vectơ trung tuyến, trọng tâm:

+ M là trung điểm của AB, với mọi điểm O ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \).

+ G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi điểm O ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).

Để chứng minh G là trung điểm của G₁G₂ ta chứng minh \(\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} = 2\overrightarrow {OG} \).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, G, G₁, G₂ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, ABM, ACM nên với mọi điểm O ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {O{G_1}} \\\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {O{G_2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\overrightarrow {O{G_1}} + 3\overrightarrow {O{G_2}} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OM} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OM} } \right)\\ \Rightarrow 3\overrightarrow {O{G_1}} + 3\overrightarrow {O{G_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} } \right) = 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} } \right) = 3\overrightarrow {OG} + 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {O{G_2}} = 2\overrightarrow {OG} \end{array}\)

Vậy G là trung điểm của G₁G₂ (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.