Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. a)

Câu hỏi số 596713:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CH} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(\overrightarrow {MH} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AB} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596713

Phương pháp giải

a) Gọi M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC. Chứng minh AGCH là hình bình hành và suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {GC} \).

Sử dụng tính chất vectơ trung điểm của đoạn thẳng, quy tắc 3 điểm.

b) Sử dụng quy tắc hiệu \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AM} \), thay \(\overrightarrow {AH} \) theo ý a, \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Giải chi tiết

a) Gọi N là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC.

Vì H đối xứng với B qua G nên BG = GH = 2GI.

=> I là trung điểm của GH.

=> AGCH là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {GC} = - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (đpcm).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10