Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. a)

Câu hỏi số 596713:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CH} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(\overrightarrow {MH} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AB} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596713

Phương pháp giải

a) Gọi M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC. Chứng minh AGCH là hình bình hành và suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {GC} \).

Sử dụng tính chất vectơ trung điểm của đoạn thẳng, quy tắc 3 điểm.

b) Sử dụng quy tắc hiệu \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AM} \), thay \(\overrightarrow {AH} \) theo ý a, \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Giải chi tiết

a) Gọi N là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC.

Vì H đối xứng với B qua G nên BG = GH = 2GI.

=> I là trung điểm của GH.

=> AGCH là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {GC} = - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (đpcm).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.