Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} =

Câu hỏi số 599190:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599190

Phương pháp giải

tính \((1+1)^{2n+1}\)

Giải chi tiết

\( + )\)Xét: \({\left( {x - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}.{\left( { - 1} \right)^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}.{\left( { - 1} \right)^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}.{\left( { - 1} \right)^{2n + 1}}\)

\( = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}} - C_{2n + 1}^1.{x^{2n}} + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

\( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

\( \Leftrightarrow 0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

\( \Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) - \left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

\( + )\)Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}{.1^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}{.1^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}{.1^{2n + 1}}\)

\( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

\( = \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\)

\( = 2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\)

\( = 2.1024\)

\( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 11\)\( \Leftrightarrow n = 5\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.