Chứng minh rằng tồn tại một số chỉ viết bởi hai chữ số chia hết cho \(2003.\)

Câu hỏi số 599907:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599907

Phương pháp giải

Vận dụng nguyên lí Dirichlet.

Lưu ý: Nếu \(a\) và \(b\) chia \(c\) có cùng số dư thì \(\left( {a - b} \right) \vdots c\)

Giải chi tiết

Xét dãy \(2003\) số có dạng \(1;\,11;\,111;\,...;\)

- Th1: Nếu có một số chia hết cho \(2003\) thì \(11...1100..00\, \vdots \,2003\) (đpcm)

- Th2: Nếu không có một số nào chia hết cho \(2003\) thì sẽ có \(2002\) khả năng dư là \(1;\,2;\,3;...;2002.\)

Mà dãy số trên có \(2003\) số hạng nên sẽ có ít nhất hai số khi chia cho \(2003\) có cùng số dư. Goi hai số dư khi chia cho \(2003\) là \(\underbrace {11...11}_{m\,\,\,chu\,\,\,so\,\,1}\) và \(\underbrace {111...111}_{n\,\,\,chu\,\,\,so\,\,\,1}\) với \(n > m.\)

Khi đó \(\underbrace {111...111}_{n\,\,\,chu\,\,\,so\,\,1} - \underbrace {11...11}_{m\,\,\,chu\,\,so\,\,1\,} = \underbrace {11...1100..00}_{n - m\,\,\,\,chu\,\,so\,\,\,1\,\,va\,\,m\,\,chu\,\,so\,\,\,0}\, \vdots \,2003\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.