Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số \(2\) và chữ số

Câu hỏi số 599908:

Vận dụng

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số \(2\) và chữ số \(0\) mà số đó chia hết cho \(2018.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599908

Phương pháp giải

Vận dụng nguyên lí Dirichlet. Lưu ý: Nếu \(a\) và \(b\) chia \(c\) có cùng số dư thì \(\left( {a - b} \right) \vdots c\)

Giải chi tiết

Xét dãy gồm các số: \(2;\,22;222;......\)

- Th1: Nếu có một số chia hết cho \(2018\) thì \(222...2200..00\, \vdots \,2018\) (đpcm)

- Th2: Nếu không có số nào chia hết cho \(2018.\) Khi chia lần lượt các số trong dãy cho \(2018\) thì số dư của phép chia nằm trong khoảng từ \(1\) đến \(2017\) (\(2017\) số dư).

Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất \(2\) số khi chia cho \(2018\) có cùng số dư. Giả sử có hai số khi chia cho \(2018\) có cùng số dư là :

\({A_n} = 222...22\) (\(n\) chữ số \(2\)).

\({A_m} = 2222....222\) (\(m\) chữ số \(2\)) ; \(n < m.\)

Khi đó \(\underbrace {2222...222}_{m\,\,\,chu\,\,\,so\,\,1} - \underbrace {222...22}_{n\,\,chu\,\,so\,\,1\,} = \underbrace {222...2200..00}_{m - n\,\,\,\,chu\,\,so\,\,\,1\,\,va\,\,n\,\,chu\,\,so\,\,\,0}\, \vdots \,2018\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link