Hai tam giác: tam giác cân \(MNP\) và tam giác \(MEF\) có chung góc ở đỉnh \(M.\) Biết \(MF + ME = MP +

Câu hỏi số 602404:

Vận dụng cao

Hai tam giác: tam giác cân \(MNP\) và tam giác \(MEF\) có chung góc ở đỉnh \(M.\) Biết \(MF + ME = MP + MN.\) Chứng minh \(NP < EF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602404

Phương pháp giải

- Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Giải chi tiết

Vì \(ME + MF = MP + MN = 2AB = 2AC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow NE = PF\)

Nếu \(F\) thuộc đoạn thẳng \(MP\) thì \(E\) thuộc tia đối của tia \(NM\)

Kẻ \(EH \bot NP;\,FK \bot NP\)

Có \(\Delta MNP\) cân tại \(M\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MPN = \angle MNP\)

Mà \(\angle HNE = \angle MNP\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle HNE = \angle MPN\left( { = \angle MNP} \right)\) hay \(\angle HNE = \angle KPF\)

Xét \(\Delta EHN\) và \(\Delta FKP\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle EHN = \angle FKP\left( { = {{90}^0}} \right)\\NE = PF\,\left( {cmt} \right)\\\angle HNE = \angle KPF\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta EHN = \Delta FKP\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow NH = PK\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có \(NK + PK = NP;\,NK + NH = HK\)

\( \Rightarrow NP = HK, \left( 1 \right)\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \(NP,\,EF.\)

Do \(EH \bot NP;\,FK \bot NP \Rightarrow MH < EM;\,MK < FM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

\( \Rightarrow MH + MK < EM + FM \Rightarrow HK < EF , \left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow NP < EF.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link