Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề nhau có vị trí cân

Câu hỏi số 614880:

Vận dụng cao

Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề nhau có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của chúng và có cùng tần số góc \(\omega \), biên độ lần lượt là \({A_1},{A_2}\). Biết \({A_1} + {A_2} = 8cm\). Tại một thời điểm vật 1 và vật 2 có li độ và vận tốc lần lượt là \({x_1},{v_1},{x_2},{v_2}\), và thỏa mãn \({x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = 8c{m^2}/s\). Giá trị nhỏ nhất của \(\omega \) là

A. 4rad/s.

B. 2rad/s.

C. 1rad/s.

D. 0,5rad/s.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614880

Phương pháp giải

Biến đổi toán học, sử dụng công thức đạo hàm và bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \({x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = {x_1}{x_2}' + {x_2}.{x_1}' = \left( {{x_1}{x_2}} \right)'\)

Hai dao động có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {A_1}.cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{x_2} = {A_2}.cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1}{x_2} = \dfrac{{{A_1}{A_2}}}{2}.\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\\ \Rightarrow \left( {{x_1}{x_2}} \right)' = \dfrac{{{A_1}{A_2}.2\omega }}{2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = {x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = 8\\ \Rightarrow \omega = \dfrac{8}{{{A_1}{A_2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\\ \Rightarrow {\omega _{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {{A_1}{A_2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]_{\max }}\end{array}\)

Lại có: \({A_1} + {A_2} = 8cm\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}{A_1} + {A_2} \ge 2\sqrt {{A_1}{A_2}} \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \ge 4.{A_1}{A_2}\\ \Rightarrow {\left( {{A_1}{A_2}} \right)_{\max }} = \dfrac{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{8^2}}}{4} = 16\\ \Rightarrow {\omega _{\min }} = \dfrac{8}{{{{\left( {{A_1}{A_2}} \right)}_{\max }}.{{\left[ {\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]}_{\max }}}} = \dfrac{8}{{16.1}} = 0,5\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.