Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề nhau có vị trí cân

Câu hỏi số 614880:

Vận dụng cao

Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề nhau có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của chúng và có cùng tần số góc \(\omega \), biên độ lần lượt là \({A_1},{A_2}\). Biết \({A_1} + {A_2} = 8cm\). Tại một thời điểm vật 1 và vật 2 có li độ và vận tốc lần lượt là \({x_1},{v_1},{x_2},{v_2}\), và thỏa mãn \({x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = 8c{m^2}/s\). Giá trị nhỏ nhất của \(\omega \) là

A. 4rad/s.

B. 2rad/s.

C. 1rad/s.

D. 0,5rad/s.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:614880

Phương pháp giải

Biến đổi toán học, sử dụng công thức đạo hàm và bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \({x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = {x_1}{x_2}' + {x_2}.{x_1}' = \left( {{x_1}{x_2}} \right)'\)

Hai dao động có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {A_1}.cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{x_2} = {A_2}.cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1}{x_2} = \dfrac{{{A_1}{A_2}}}{2}.\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\\ \Rightarrow \left( {{x_1}{x_2}} \right)' = \dfrac{{{A_1}{A_2}.2\omega }}{2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = {x_1}{v_2} + {x_2}{v_1} = 8\\ \Rightarrow \omega = \dfrac{8}{{{A_1}{A_2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\\ \Rightarrow {\omega _{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {{A_1}{A_2}.\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]_{\max }}\end{array}\)

Lại có: \({A_1} + {A_2} = 8cm\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}{A_1} + {A_2} \ge 2\sqrt {{A_1}{A_2}} \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \ge 4.{A_1}{A_2}\\ \Rightarrow {\left( {{A_1}{A_2}} \right)_{\max }} = \dfrac{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{8^2}}}{4} = 16\\ \Rightarrow {\omega _{\min }} = \dfrac{8}{{{{\left( {{A_1}{A_2}} \right)}_{\max }}.{{\left[ {\sin \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]}_{\max }}}} = \dfrac{8}{{16.1}} = 0,5\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.