Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng kết hợp \({O_1}\) và \({O_2}\) dao

Câu hỏi số 614885:

Vận dụng cao

Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng kết hợp \({O_1}\) và \({O_2}\) dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy (thuộc mặt nước) với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn \({O_1}\) còn nguồn \({O_2}\) nằm trên trục Oy. Hai điểm P và Q nằm trên Ox có OP = 4,5cm và OQ = 8cm. Dịch chuyển nguồn \({O_2}\) trên trục Oy đến vị trí sao cho góc \(P{O_2}Q\) có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa P và Q không còn cực đại nào khác. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là

A. 2,5cm.

B. 3, 4cm.

C. 1,1cm.

D. 2,0cm.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:614885

Phương pháp giải

Công thức lượng giác: \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

Bất đẳng thức Cô – si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Điều kiện cực đại giao thoa: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

Điều kiện cực tiểu giao thoa: \({d_2} - {d_1} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \)

Giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {P{O_2}Q} = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \widehat {P{O_2}Q} = \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\tan {\varphi _2} - \tan {\varphi _1}}}{{1 + \tan {\varphi _2}.\tan {\varphi _1}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}} - \dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}}.\dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{a} - \dfrac{{{O_1}P}}{a}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{a}.\dfrac{{{O_1}P}}{a}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{{O_1}Q - {O_1}P}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}} = \dfrac{{const}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}}\end{array}\)

Để \(\tan {\left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)_{\max }}{\rm{\;}} \Leftrightarrow {\left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)_{\min }}\)

Áp dụng BĐT Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \\ \Rightarrow {\left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)_{\min }}{\rm{\;}} = 2\sqrt {{O_1}Q.{O_1}P} \end{array}\)

(Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \sqrt {{O_1}Q.{O_1}P} {\rm{\;}} = \sqrt {4,5.8} {\rm{\;}} = 6\left( {cm} \right)\))

Ta có: \({O_2}P = \sqrt {{a^2} + {O_1}{P^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{6^2} + 4,{5^2}} {\rm{\;}} = 7,5\left( {cm} \right)\)

Lại có: \({O_2}Q = \sqrt {{a^2} + {O_1}{Q^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} {\rm{\;}} = 10\left( {cm} \right)\)

Điểm P không dao động, ta có:

\(P{O_2} - P{O_1} = 7,5 - 4,5 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \)

Điểm Q dao động với biên độ cực đại:

\(Q{O_2} - Q{O_1} = 10 - 8 = k\lambda \)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda }\\{2 = k\lambda }\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{\lambda {\rm{\;}} = 2\left( {cm} \right)}\end{array}} \right.\)

→ Q là cực đại bậc 1, giữa P và Q không có cực đại nào khác.

Trên OP, gọi N là điểm gần nhất dao động với biên độ cực đại → N là cực đại bậc 2 ứng với k = 2, ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {O{N^2} + {a^2}} - ON = 2\lambda \\ \Rightarrow \sqrt {O{N^2} + {6^2}} - ON = 2.2 \Rightarrow ON = 2,5\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow PN = {O_1}P - ON = 4,5 - 2,5 = 2\left( {cm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.