Trong mặt phẳng Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0\), có F1, F2 lần lượt là tiêu

Câu hỏi số 618670:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0\), có F₁, F₂ lần lượt là tiêu điểm bên trái và bên phải. Tìm tất cả các điểm M thuộc elip sao cho \(\angle {F_1}M{F_2} = {90^0}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:618670

Phương pháp giải

Đưa elip về phương trình chính tắc và xác định a, b, c.

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, tính \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = a + \dfrac{c}{a}{x_M}\\M{F_2} = a - \dfrac{c}{a}{x_M}\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Pytago \({F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2\) tìm x.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 2\sqrt 5 ,\,\,b = 2,\,\,c = 4,\,\,{F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\\M{F_2} = 2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\end{array} \right.\).

Tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M nên áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} = 64\\ \Leftrightarrow {x^2} = 15 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {15} .\end{array}\)

Với \(x = \pm \sqrt {15} \Rightarrow y = \pm 1\).

Vậy các điểm M thoả mãn là: \(\left( {\sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( {\sqrt {15} ; - 1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ; - 1} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.