Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0$ , có F1, F2 lần lượt là tiêu

Câu hỏi số 618670:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0$ , có F₁, F₂ lần lượt là tiêu điểm bên trái và bên phải. Tìm tất cả các điểm M thuộc elip sao cho $\angle {F_1}M{F_2} = {90^0}$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618670

Phương pháp giải

Đưa elip về phương trình chính tắc và xác định a, b, c.

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, tính $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = a + \dfrac{c}{a}{x_M}\\M{F_2} = a - \dfrac{c}{a}{x_M}\end{array} \right.$ .

Áp dụng định lí Pytago ${F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2$ tìm x.

Giải chi tiết

Ta có: $\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$

$\Rightarrow a = 2\sqrt 5 ,\,\,b = 2,\,\,c = 4,\,\,{F_1}{F_2} = 2c = 8$ .

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\\M{F_2} = 2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\end{array} \right.$ .

Tam giác $M{F_1}{F_2}$ vuông tại M nên áp dụng định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} = 64\\ \Leftrightarrow {x^2} = 15 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {15} .\end{array}$

Với $x = \pm \sqrt {15} \Rightarrow y = \pm 1$ .

Vậy các điểm M thoả mãn là: $\left( {\sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( {\sqrt {15} ; - 1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ; - 1} \right)$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.