Trong mặt phẳng Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0\), có F1, F2 lần lượt là tiêu

Câu hỏi số 618670:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy, cho elip \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0\), có F₁, F₂ lần lượt là tiêu điểm bên trái và bên phải. Tìm tất cả các điểm M thuộc elip sao cho \(\angle {F_1}M{F_2} = {90^0}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618670

Phương pháp giải

Đưa elip về phương trình chính tắc và xác định a, b, c.

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, tính \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = a + \dfrac{c}{a}{x_M}\\M{F_2} = a - \dfrac{c}{a}{x_M}\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Pytago \({F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2\) tìm x.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( E \right):\,\,{x^2} + 5{y^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 2\sqrt 5 ,\,\,b = 2,\,\,c = 4,\,\,{F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\\M{F_2} = 2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x\end{array} \right.\).

Tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M nên áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 5 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}x} \right)^2} = 64\\ \Leftrightarrow {x^2} = 15 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {15} .\end{array}\)

Với \(x = \pm \sqrt {15} \Rightarrow y = \pm 1\).

Vậy các điểm M thoả mãn là: \(\left( {\sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( {\sqrt {15} ; - 1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ;1} \right),\,\,\left( { - \sqrt {15} ; - 1} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.