Cho hệ con lắc lò xo như hình vẽ gồm lò xo có độ cứng k = 300 N/m hai vật A và B có khối

Câu hỏi số 621053:

Vận dụng cao

Cho hệ con lắc lò xo như hình vẽ gồm lò xo có độ cứng k = 300 N/m hai vật A và B có khối lượng lần lượt là 300g và 600g. Dây nối giữa hai vật có chiều dài 10cm rất nhẹ, căng không dãn, lấy \(g = 10\,\,m/{s^2}\) và \({\pi ^2} = 10\). Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Nâng hai vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi truyền cho vật một vận tốc \(30\pi \,\,cm/s\) xuống dưới thì hệ dao động điều hòa. Sau khi vật dao động vào thời điểm động năng của vật A bằng thế năng của con lắc lò xo lần đầu tiên thì dây nối giữa hai vật A, B bị đứt. Kể từ khi dây bị đứt đến khi vật A chuyển động được quãng đường 20cm thì A cách B một khoảng gần giá trị nhất là

A. 19,2 cm.

B. 27,32 cm.

C. 29 cm.

D. 32 cm.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:621053

Phương pháp giải

Ban đầu, tần số góc của dao động: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_A} + {m_B}}}} \)

Ở vị trí cân bằng lò xo dãn: \(\Delta l = \dfrac{{\left( {{m_A} + {m_B}} \right).g}}{k}\)

Khi B bị đứt, A tiếp tục dao động với \(\omega ' = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_A}}}} \) còn vật B bị ném xuống theo phương thẳng đứng.

Vị trí cân bằng mới \(\Delta l' = \dfrac{{{m_A}g}}{k}\)

Áp dụng phương trình độc lập thời gian để tính biên độ mới.

Thời gian dao động của vật A là: \(\Delta t = \dfrac{\alpha }{{{\omega _A}}}\) cũng chính là thời gian rơi của vật B.

Tính quãng đường vật B rơi được và vị trí của vật A sau 20m.

Từ đó suy ra khoảng cách 2 vật.

Giải chi tiết

Khi hai vật còn nối với nhau:

Tần số góc của dao động:

\(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_A} + {m_B}}}} = \sqrt {\dfrac{{300}}{{0,3 + 0,6}}} = \dfrac{{10\pi \sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Ở vị trí cân bằng lò xo dãn:

\(\Delta l = \dfrac{{\left( {{m_A} + {m_B}} \right).g}}{k} = 0,03\left( m \right) = 3\left( {cm} \right)\)

Nâng hai vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi truyền cho hệ vận tốc để hệ dao động điều hòa với biên độ:

\(A = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{3^2} + \dfrac{{{{\left( {30\pi } \right)}^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{10\pi \sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}}} = 6\left( {cm} \right)\)

Do \({m_A} = \dfrac{{{m_A} + {m_B}}}{3} \Rightarrow {W_{dA}} = \dfrac{1}{3}\;{W_d}\)

Khi động năng của vật A bằng thế năng của con lắc lò xo lần đầu tiên

\(\begin{array}{l}{W_{dA}} = {W_t} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\;{W_d} = {W_t}\\ \Rightarrow {W_t} = \dfrac{1}{4}\;W \Rightarrow x = \dfrac{A}{2} = 3\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vận tốc hai vật lúc này là:

\(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} = 30\pi \left( {cm/s} \right)\)

Khi B bị đứt, A tiếp tục dao động với tần số góc:

\(\omega ' = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_A}}}} = 10\pi \,\,\left( {rad/s} \right)\)

Vật B bị ném xuống với vận tốc ban đầu là: \(30\pi \left( {cm/s} \right)\)

Vị trí cân bằng cách vị trí lò xo không dãn:

\( \Rightarrow OO' = 3 - 1 = 2\left( {cm} \right)\) (O’ là VTCB mới)

Như vậy tại thời điểm B bị đứt, li độ mới của A là:

\(x' = x + OO' = 3 + 2 = 5\,\,\left( {cm} \right)\)

Vận tốc A vẫn bằng: \({v_A} = 30\pi \,\,\left( {cm/s} \right)\)

Biên độ dao động của A là:

\(A' = \sqrt {{5^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{2^2} + \dfrac{{{{\left( {30\pi } \right)}^2}}}{{{{\left( {10\pi } \right)}^2}}}} = \sqrt {34} \,\,\left( {cm} \right)\)

Từ lúc thả đến khi vật A đi được 20cm thì góc mà vật A quét được là:

\(\alpha = \arccos \dfrac{5}{{\sqrt {34} }} + {270^0} + \left( {{{90}^0} - \arccos \dfrac{{1,676}}{{\sqrt {34} }}} \right) = 317,{67^0}\)

Thời gian dao động của vật A là:

\(\Delta t = \dfrac{\alpha }{{{\omega _A}}} = \dfrac{{317,67}}{{{{10.180}^0}}} = 0,176\left( s \right)\)

Vật B rơi được quãng đường là:

\({S_B} = vt + \dfrac{{g.\Delta {t^2}}}{2} = 30\pi .0,176 + \dfrac{{10.0,{{176}^2}}}{2} \approx 31,9\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách giữa 2 vật là:

\(\begin{array}{l}\Delta d = {S_B} + {l_{day\,noi}} + \left( {5 - 1,676} \right)\\ \Rightarrow \Delta d = 31,9 + 10 + \left( {5 - 1,676} \right) \approx 45,2\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy A cách B một khoảng gần giá trị 32 cm nhất.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.